层次分析法
一、分析模型和一般步骤
二、建立层次结构模型
三、构造成对比较矩阵
四、作一致性检验
五、层次总排序及决策
一. 层次分析模型和一般步骤
层次分析法是一种定性与定量分析相结合的多因素决策分析方法。
这种方法将决策者的经验判断给于数量化，在目标因素结构复杂且缺乏必要数据的情况下使用更为方便，因而在实践中得到广泛应用。
层次分析的四个基本步骤：
（1）在确定决策的目标后，对影响目标决策的因素进行分类，建立一个多层次结构；
（2）比较同一层次中各因素关于上一层次的同一个因素的相对重要性，构造成对比较矩阵；
（3）通过计算，检验成对比较矩阵的一致性，必要时对成对比较矩阵进行修改，以达到可以接受的一致性；
（4）在符合一致性检验的前提下，计算与成对比较矩阵最大特征值相对应的特征向量，确定每个因素对上一层次该因素的权重；
计算各因素对于系统目标的总排序权重并决策。
二. 建立层次结构模型
将问题包含的因素分层：最高层（解决问题的目的）；中间层（实现总目标而采取的各种措施、必须考虑的准则等。
也可称策略层、约束层、准则层等）；最低层（用于解决问题的各种措施、方案等）。
把各种所要考虑的因素放在适当的层次内。
用层次结构图清晰地表达这些因素的关系。
〔例1〕购物模型
某一个顾客选购电视机时，对市场正在出售的四种电视机考虑了八项准则作为评估依据，建立层次分析模型如下：
例2〕选拔干部模型
对三个干部候选人、、，按选拔干部的五个标准：品德、才能、资历、年龄和群众关系，构成如下层次分析模型：假设有三个干部候选人、、，按选拔干部的五个标准：品德，才能，资历，年龄和群众关系，构成如下层次分析模型
例3〕评选优秀学校
某地区有三个学校，现在要全面考察评出一个优秀学校。
主要考虑以下几个因素：
（1）教师队伍（包括平均学历和年龄结构）
（2）教学设施
（3）教学工作（包括课堂教学，课外活动，统考成绩和教学管理）
（4）文体活动
三、构造成对比较矩阵
比较第 i 个元素与第 j 个元素相对上一层某个因素的重要性时，使用数
量化的相对权重来描述。
设共有 n 个元素参与比较，则称为成对比较矩阵。
成对比较矩阵中的取值可参考 Satty 的提议，按下述标度进行赋值。
在 19 及其倒数中间取值。
∙元素 i 与元素 j 对上一层次因素的重要性相同；
∙元素 i 比元素 j 略重要；
∙元素 i 比元素 j 重要；
∙元素 i 比元素 j 重要得多；
∙元素 i 比元素 j 的极其重要；
∙，元素 i 与 j 的重要性介于
与之间；
∙，当且仅当。
成对比较矩阵的特点：
，，。
对例 2，选拔干部考虑5个条件：品德，才能，资历，年
龄，群众关系。
某决策人用成对比较法，得到成对比较阵如下：
=5 表示品德与年龄重要性之比为 5，即决策人认为品德比年龄重要。
四. 作一致性检验
从理论上分析得到：如果是完全一致的成对比较矩阵，应该有。
但实际上在构造成对比较矩阵时要求满足上述众多等式是不可能的。
因此退而要求成对比较矩阵有一定的一致性，即可以允许成对比较矩阵存在一定程度的不一致性。
由分析可知，对完全一致的成对比较矩阵，其绝对值最大的特征值等于该矩阵的维数。
对成对比较矩阵的一致性要求，转化为要求：的绝对值最大的
特征值和该矩阵的维数相差不大。
检验成对比较矩阵 A 一致性的步骤如下：
o计算衡量一个成对比矩阵 A （ >1 阶方阵）不一致程度的指标
：
其中是矩阵 A 的最大特征值。
从有关资料查出检验成对比较矩阵 A 一致性的标准：
称为平均随机一致性指标，它只与矩阵阶数有关。
o按下面公式计算成对比较阵 A 的随机一致性比率 CR：。
o判断方法如下：当时，判定成对比较阵 A 具有满意的一致性，或其不一致程度是可以接受的；否则就调整成对比较矩阵 A，直到达到满意的一致性为止。
[R,T]=eig(A)；。
计算得到，，查得，。
这说明 A 不是一致阵，但 A 具有满意的一致性，A 的不一致程度是
可接受的。
这个向量也是问题所需要的。
通常要将该向量标准化：使得它的各分
量都大于零，各分量之和等于 1。
该特征向量标准化后变成
AU=abs(U)；AU/sum(AU)；得到
W1=（0.4758 0.2636 0.0538 0.0981 0.1087）。
经过标准化后
这个向量称为权向量。
这里它反映了决策者选拔干部时，视品德条件
最重要，其次是才能，再次是群众关系，年龄因素，最后才是资历。
五. 层次总排序及决策
现在来完整地解决例 2 的问题，要从三个候选人
、、中选一个总体上最适合上述五个条件的候选人。
对此，对三个候选
人分别比较他们的品德，才能，资历，年龄，群众关系。
先成对比较三个候选人的品德，得成对比较阵
经计算，的权向量
，，。
故的不一致程度可接受。
可以直观地视为各候选人在品德
方面的得分。
类似地，分别比较三个候选人的才能，资历，年龄，群众关系得成对比较阵
通过计算知，相应的权向量为
它们可分别视为各候选人的才能分，资历分，年龄分和群众关系分。
经检验知的不一致程度均可接受。
[a1,b1]=eig(B1)；
[a2,b2]=eig(B2)；
[a3,b3]=eig(B3)；
[a4,b4]=eig(B4)；
[a5,b5]=eig(B5)；
W2=[a1(:,1),a2(:,1),a3(:,1),a4(:,1),a5(:,1)]；
将W2标准化后得到
W2=0.0819 0.5954 0.3967 0.6337 0.3583
0.2363 0.2764 0.3967 0.1919 0.1283
0.6817 0.1283 0.2065 0.1744 0.5134 W=W1*W2’= 0.3184 0.2394 0.4422
w=ones(5,1)
w=A*w/sum(abs(A*w)) 重复运行此命令
w1=ones(3,1);
w1=B1*w/sum(abs(B1*w)); 重复运行此命令
w2=ones(3,1);
w2=B2*w2/sum(abs(B2*w2)); 重复运行此命令
w3=ones(3,1);
w3=B3*w3/sum(abs(B3*w3)); 重复运行此命令
w4=ones(3,1);
w4=B4*w4/sum(abs(B4*w4)); 重复运行此命令
W2=[w1,w2,w3,w4,w5]
W=W2*w。