2013数学建模培训
第三讲 层次分析法
一、引 言
层次分析法是数学建模竞赛中的 常用方法。在数学建模竞赛论文中， 时常能看到层次分析法。 需要提醒大家注意的是，有些学 生没有搞清楚层次分析法的特点、原 理、优缺点及局限性，在建模中随意 乱用层次分析法。 在本讲中，大家首先要搞清楚层
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人们在日常活动中，常常会面对 一些决策问题。例如，大学生选择职 业时，往往会从专业对口、发展潜力、 待遇收入等多方面考虑和决策。 许多决策问题是一个由相互关联、 相互制约的众多因素构成的复杂系统， 很难用通常的数学模型解决。 例如，在一群人中挑个子最高的
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很容易办到，选最胖者也不难，但要 挑选一个最高、最胖且最帅的人就不 容易了。 此类决策问题的困难主要在于 : (1) 有的指标不易量化; (2) 有些指标 相互关联，甚至相互矛盾，导致决策 复杂化。
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判断矩阵的确定具有很强的主观 性。比如，在例 1 中，假定企业领导 对于资金使用的态度是：首先是提高 企业的技术水平，其次是改善职工生 活条件，最后是调动职工积极性，则 准则层对目标层的比较判断矩阵可以 设定为
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C1 C2
C3
C1 1 1 5 1 3 A C2 5 1 3 C3 3 1 3 1 显然，若 C i 和 C j 对 Z 的影响之比 为aij， Cj和Ck对Z的影响之比为ajk, 则 C i 和 C k 对 Z 的影响之比为 a ik ，即正互 反矩阵A中元素应满足：aijajk=aik，此
目标层外，每个元素至少受上一层一 个元素支配；除方案层外，每个元素 至少支配下一层一个元素；同一层次 元素不存在支配关系。 建立层次结构的关键是能否构造 出合理的满足一定支配关系的准则。
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四、比较判断矩阵的构造
由于在决策者心目中，各准则对 目标的影响程度不同，各方案对每个 准则的影响程度也不同，所以建立层 次结构后的首要任务是确定各准则对 目标以及各方案对每个准则的权重。 层次分析法确定上述权重的方法 是构造准则层和方案层的比较判断矩 阵。
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层次分析法 (AHP)是美国运筹学 家Lsaaty在20世纪70年代初提出的一 种定性分析与定量分析相结合的多准 则决策方法，简单、实用，特别适用 于人的定性判断起重要作用，对决策 结果难于直接准确计量的问题。
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二、层次分析法的原理与步骤
层次分析法的基本思路与人们对 复杂问题的决策过程大体一致。当决 策者在对问题进行分析时，首先要对 分析对象的因素建立起彼此相关的层 次递阶结构，这种层次递阶结构可以 清晰地反映出诸相关因素 ( 目标、准 则、对象 ) 的彼此关系，使得决策者 能够把复杂的问题理顺，然后用一定
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恒有 max； (3) max 为A的单特征值，因而它 所对应的特征向量除相差一个常数因 子外是唯一的。 下面再给出两个定理，这两个定 理分别是权重排序原理和一致性检验 原理的理论基础。 定理1 若A为一致矩阵，则
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(1) A必为正互反矩阵； (2) A的任意两行(列)成比例； (3) A的最大特征值 max n，n为 A的阶，从而A的其余特征值均为零; (4) 若A的最大特征值 max 对应的 T 特征向量为 W w1 , w2 ,, wn ，则 aij wi w j ，即
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从调动职工工作积极性，提高职 工文化技术水平和改善职工物质文化 生活条件来看，这些方案都有其合理 因素。如何使得这笔资金更合理地使 用，就是企业领导面临的决策问题。 注意 在建模实际问题中, 如需用 层次分析法，则首先要根据问题的特 点建立适当的层次。
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时称A为一致矩阵。 单凭经验构造出的比较判断矩阵 不一定满足一致性，如例 1 中的判断 矩阵。 比较判断矩阵严格满足一致性是 极为困难的，层次分析法要求比较判 断矩阵按一定程度满足一致性。
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2. 方案层比较判断矩阵的构造 类似地可以构造出各方案对每个 准则的比较判断矩阵。 例如，例 1 中的各方案对每个准 则的比较判断矩阵可以设为
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其理论依据是什么？ 8. 如何进行一致性检验，如何理解一 致性指标 CI 、平均随机一致性指标 RI、一致性比例CR？ 9. 何谓层次总排序？ 10. 层次总排序的步骤和原理。 11. 如何进行层次总排序的一致性检 验？
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12. 当一致性检验未通过时，如何对 判断矩阵进行调整？ 13. 层次分析法的缺陷及解决办法。 14. 层次分析法软件的使用。 15. 层次分析法建模实例。
请大家揣摩本题中构造层次结构 的思路与过程。 通过分析，上述方案都是为了更 好地调动职工工作积极性，提高企业 技术水平和改善职工物质文化条件， 而最终目的是为了企业进一步发展， 增强企业的竞争力。 据此，可以建立下列层次结构：
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资金使用问题的层次分析结构图
目标层 资金合理使用 Z
7 5 2 3 1
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P1 1 1 P2 1 1 B3 P3 1 3 1 3 P4 1 3 1 3
3 3 1 1
3 3 1 1
构造出判断矩阵后，即可对判断 矩阵进行单排序计算。在各层次排序 后还要进行各层次总排序，其中还存 在着判断矩阵的一致性检验问题。
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检验的方法即可。 根据定理 1中的结论 (4) ，可以得 出确定排序向量的下列方法： 求出比较判断矩阵 A最大特征值 max 的特征向量 W，经归一化后即为 各准则对目标或各方案对某准则的排 序权重向量。 可借助软件求特征值特征向量。
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2. 比较判断矩阵的一致性检验 虽然构造比较判断矩阵时，不要 求具有严格的一致性，但一个混乱、 不一致的比较判断矩阵有可能导致决 策的失误，所以我们希望在判断时应 大体一致，从而对每一层在做单准则 排序时，均需要做一致性检验。 根据定理2， max n 且A为一致矩
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w1 w 1 w2 A w1 w n w1
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w1 w2 w2 w2 wn w2
w1 wn w2 wn wn wn
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定理2 若A为n阶正互反矩阵，则
(1) max n ； (2) A为一致矩阵 max n 。 尽管上述结论的证明并不复杂， 有些内容还是考研中的常见内容，如 定理1的(2)和(3)，但绝大部分学生理 解起来还是比较困难。 不过这并没有关系，因为我们只 要利用这两个定理得出排序和一致性
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标度将人的主观判断进行客观量化， 在此基础上进行定性和定量分析。 层次分析法大致可分为下面四个 步骤： (1) 建立递阶层次结构； (2) 构造比较判断矩阵； (3) 单准则排序和一致性检验； (4) 层次总排序和一致性检验。
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三、递阶结构层次的建立
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P1 1 2 3 4 P2 1 2 1 3 2 B1 P3 1 3 1 3 1 1 2 P4 1 4 1 2 2 1 P5 1 7 1 5 1 2 1 3 P2 1 1 7 1 3 1 5 P3 7 1 5 3 B2 P4 3 1 5 1 1 3 P5 5 1 3 3 1
准则层
调动职工 积极性C1
提高企业 技术水平C2
改善职工 生活水平C3
方案层
发奖金P1
建福利 设施P2
请职工 进修P3
建图 书馆P4
引进新 设备P5
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也就是说，对于资金使用这个问 题来说，模型结构分为三层。最高为 目标层，即合理使用资金；中间为准 则层，即合理使用资金的三个准则： 调动职工积极性，提高企业技术水平 和改善职工生活；最下一层为方案层, 即可供选择的方案。
层次分析法首先要把决策问题层 次化。所谓层次化就是根据问题的性 质以及要达到的目标，将问题分解为 不同的因素，并按各因素间的隶属关 系和关联程度分组，形成一个不相交 的层次。 下面通过一个实例来说明构造层 次以及层次分析法的决策过程。
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例1 假设某企业领导要决定一笔 资金如何使用。经过调研，现有下列 方案可供选择： (1) 作为奖金发给职工； (2) 扩建宿舍和食堂等福利设施; (3) 举办职工进修班； (4) 建图书馆、俱乐部等； (5) 引进新设备进行技术改造。
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结果用矩阵A=(aij)表示，称为准则层 的比较判断矩阵。 显然，aij =1/aij，称A为正互反矩 阵。 对于如何确定 aij 的值， Saaty 提 出用数字1～9及其倒数作为标度。 下表中列出了1～9标度的含义：
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标度 1 3 5 7 9 2, 4, 6, 8
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1. 准则层比较判断矩阵的构造 下面介绍准则C1,C2,…,Cn对目标 Z的权重的确定方法。 在复杂问题中，准则的权重很难 直接获得且不易定量化。 Saaty 提出 可用对准则两两比较的方法来确定权 重，即每次取两个准则Ci和Cj，用aij 表示Ci和Cj对Z的影响之比, 全部比较
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阵 max n ，就这意味着max比n大 得越多， A的不一致程度就越严重。 因此，可以用 max n CI n 1 作为衡量不一致程度的数量指标， CI称为一致性指标。 CI 其实即为除最大特征值以外 的其余特征值的负平均值。