[ Aˆ, Bˆ ] [ Aˆ, Bˆ ] [ Aˆ, Bˆ Cˆ ] [ Aˆ, Bˆ ] [ Aˆ, Cˆ ]
[ Aˆ, BˆCˆ ] Aˆ BˆCˆ BˆCˆAˆ Aˆ BˆCˆ BˆAˆ Cˆ BˆAˆ Cˆ BˆCˆAˆ [ Aˆ, Bˆ]Cˆ Bˆ[ Aˆ,Cˆ ]
1．单位算符
对任何波函数，有
Iˆ
Iˆ称为单位算符。显然，任意波函数皆为单位算符的本征态，且本
征值为1。
2．算符之和 对任何波函数，有 ( Aˆ Bˆ ) Aˆ Bˆ 称算符 ( Aˆ 为Bˆ )算符 和算Aˆ 符 之和Bˆ。
算符的加法运算满足
交换律：
Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ
结合律：
Aˆ (Bˆ Cˆ ) ( Aˆ Bˆ) Cˆ
§3-1 算符及其运算规则
一、算符 二、算符的运算规则 三、算符的对易关系
§3-1 算符及其运算规则
一、算符
若某一运算将函数 变u为函数 ，v记为
Fˆu v 则表示这一运算的符号 Fˆ称为算符。
动量算符和哈密顿算符是量子中常见的算符
pˆ i
2
Hˆ 2 U (r )
2
量子力学中，算符表示它对波函数的一种运算或者操作。如动量 算符表示对波函数的微商运算。
例1．求常数算符 Aˆ的 共c 轭。
解：
c12 1*c 2d 2c*1*d c1*2
即
c c*
所以，常数算符的共轭等于其复共轭。
例2．求微分算符 Aˆ 的共轭。
x
解：
x
12
* 1
x
Hale Waihona Puke 2dx21 x
*
dx
2
* 1
x
dx
分布积分
1* 2
*
1
2 x
dx
满足
Aˆ m Aˆ n Aˆ mn
n个
5．逆算符
设
Aˆ
Aˆ 1
称算符 Aˆ为1 算符 的Aˆ 逆算符。
注意：并非所有的算符都具有相应的逆算符，只有当算符的本征 值都不为零时才存在逆算符。
满足
Aˆ Aˆ 1 Aˆ 1 Aˆ Iˆ
6．算符的共轭
对任意的波函数 和 1 以及2 算符 ，令Aˆ
所以
[x, pˆ x ] i
此即著名的海森堡对易关系，它是量子力学最基本的对易关系。
因为
[x, py ] xpy py x xpy xpy 0
所以 [x, py ]， 因0 此
[ , pˆ ] i
, x, y, z
用类似的方法可知，时间与能量的对易关系为 [Eˆ,。t] i
例5．计算对易关系 [ f (x。), pˆ x ]
[ Aˆ Bˆ,Cˆ ] [ Aˆ,Cˆ ]Bˆ Aˆ[Bˆ, Cˆ ]
由例2和例4可以看出，动量算符和角动量算符都是厄米算符。
三、算符的对易关系
1．对易关系
引入符号
[ Aˆ, Bˆ ] Aˆ Bˆ BˆAˆ
称为算符 Aˆ和 的Bˆ 对易关系或对易子。
如果 [Aˆ, Bˆ，] 则0 称算符 和 Aˆ是对B易ˆ 的（或可交换的）；否则，称
和 是不Aˆ对易Bˆ的。
例如，对于坐标与动量算符，显然有
解：
[ f (x), px ]
f (x) px
px f (x)
i
f (x) d
dx
i
d f (x)
dx
i f (x) d i df (x) i f (x) d i df (x)
dx
dx
dx
dx
所以
[ f (x), pˆ x ] i
df (x) dx
3．对易关系代数的运算规则
[ Aˆ, Bˆ ] [Bˆ, Aˆ ]
第三章 量子力学中的力学量
§3-1 算符及其运算规则 §3-2 厄米算符的本征问题 §3-3 坐标算符和动量算符 §3-4 角动量算符 §3-5 共同完备本征函数系 力学量完全集 §3-6 力学量的平均值 §3-7 展开假定 §3-8 不确定关系 §3-9 电子在库仑场中的运动 §3-10 氢原子问题 §3-11 力学量平均值随时间的变化 守恒定律
[, ] 0 [ pˆ , pˆ ] 0 , x, y, z
根据所研究的对象不同，有时要用到两个算符的反对易关系，其 定义为
[ Aˆ, Bˆ ] Aˆ, Bˆ Aˆ Bˆ BˆAˆ
2．量子力学基本对易关系
对于任意的状态 ，有
[x, pˆ x ] xpˆ x pˆ x x i x (x) (x) x (x） i
所以
( Aˆ Bˆ ) Bˆ Aˆ
推广
( Aˆ BˆCˆ ) Cˆ ( Aˆ Bˆ ) Cˆ Bˆ Aˆ
例4．求算符 Lˆz xˆpˆ的y 共yˆ轭pˆx 。 解： Lˆz pˆ y xˆ pˆx yˆ pˆ y xˆ pˆ x yˆ xˆpˆ y yˆpˆ x Lˆz
*
1
2 x
dx
x
12
所以
x x
由此例可以看出，算符
pˆ x
的i共轭为
x
pˆ x i
x
i
x
pˆ x
例3．证明： ( Aˆ Bˆ) 。Bˆ Aˆ 解： 因为
1*(AˆBˆ) 2d 2 (Aˆ Bˆ1)*d (Bˆ1)*(Aˆ 2 )d 1*Bˆ (Aˆ 2 )d 1*Bˆ Aˆ 2d
3．算符之积 对任何波函数，有 ( Aˆ Bˆ ) Aˆ (Bˆ )
称算符 ( Aˆ B为ˆ )算符 和Aˆ算符 之积Bˆ 。
一般情况下
( Aˆ Bˆ ) (BˆAˆ )
Aˆ Bˆ BˆAˆ
这是算符运算与普通代数运算的重要区别。
4．算符之幂
定义：算符 的Aˆ 次幂n
Aˆ n A ˆ AˆAˆ
如果算符满足
Fˆ (c11 c22 ) c1Fˆ1 c2Fˆ2
称为线性算符。
量子力学中的可观测量（也称为力学量或物理量，如坐标、动量、 角动量和能量等）与相应的算符相对应，而且对应的算符都是线性 算符。这是量子力学的一个基本假设。
力学量的取值情况由相应算符满足的本征方程的解来决定。
二、算符的运算规则
A12
* 1
Aˆ
2
d
定义算符 的Aˆ共轭 满Aˆ足
A 12
( A21 )*
即
* 1
Aˆ
2
d
* 2
Aˆ
1d
*
2
(
Aˆ
1
)
*
d
7．厄米算符 若算符 等Aˆ于其共轭 ，Aˆ即
Aˆ Aˆ
* 1
Aˆ
2d
2
(
Aˆ1
)*
d
则称算符 Aˆ为厄米算符或自共轭算符。
引入厄米算符的意义在于，量子力学中可观测量对应的算符都是 厄米的。