lz l cos
(19- 5)
而实验结果中z却是量子化的，从 而要求 lz 必须量子化，即要求cos 量子化，即磁矩的空间取向是量子 化的。 从而证明了磁矩空间 取向的量子化特征。
掌握：史特恩－盖拉赫实验的意义
21
例题 史特恩-盖拉赫实验中，处于基态的窄银原子束 3 B / Z 10 T/m 通过不均匀横向磁场，磁场的梯度为 ， 磁极纵向范围d=0.04m，从磁极中心到屏距离D=0.14m， v 5 102 m/s 原子的速度 。在屏上两束分开的距离 l为 0.002m。试确定原子磁矩在磁场方向上投影的大小 （设磁场边缘的影响可忽略不计）。 B dD 解：原子束偏离平衡位置距离公式：z lz z mv 2 l m 由题意知： z 0.001 2 27 m 108 1 . 66 10 kg 银原子质量：
12
即角动量矢量在 空间有三个取向

与l =1情况相同，我们有l =2时有5个6
2
L 2(2 1) 6, ( l 2) ml 0 0,1,2, ( l 2)
0 , ,2 Lz 2
l2
即，角动量量子数为l 时，其在空间有2l+1个取向， 它对应有2l+1个投影值ml
3
§4.1 原子中电子轨道的运动磁矩
从电磁学理论出发，得到电子轨道运动引起的磁 矩的经典表达式，根据量子力学的计算结果，得出电 子轨道磁矩的量子表达式。对电子轨道磁矩的讨论使 我们发现，电子运动轨道的大小，运动的角动量以及 原子内部的能量都是量子化的。不仅如此，我们还将 看到，在磁场中或电场中，电子的轨道只能取一定的 方向，一般地说,在电场或磁场中，原子角动量的方向
23 0 . 93 10 J/T 将各量数值带入得： lZ
22
思考：具有磁矩的原子，在横向均匀磁场和横向非 均匀磁场中运动时有什么不同？(考研题) 设原子的磁矩为 ，磁场沿Z方向，则原子磁矩在磁 场方向的分量记为 Z，于是具有磁矩的原子在磁场中
所受的力为 F Z
的梯度。因为对于均匀磁场有
e 2me
称旋磁比
L为电子的轨道角动量
6
磁矩在外磁场B中受力矩 τ μ B，将引起角动量的变化
dL μ B (18 - 2) dt dμ γL μγB dt 或 dμ ＝ ω μ (18- 3) dt
B(z)
sin
B B ，其中 是磁场沿Z方向 Z Z B
Z 0 ，原子在磁场中
不受力，原子磁矩绕磁场方向做拉莫尔进动，且对磁 场的取向服从空间量子化规则。对非均磁场有 B ， 0 原子在磁场中除做上述运动外，还受到力的作用，原
Z
子束的路径要发生偏转。
23
中国科技大学 《原子物理学》 2004考研真题
11
3. 角动量取向量子化
我们知道，当l =1时:
L l (l 1) 2
Z
L 2

0
Lz ml 有三个取值: - , 0,
v 轨道角动量的大小 L及其z分量Lz的取值是量子化的， 而 Lz取值的量子化意味着角动量在空间取向是量子化 的，因为对于每一个l值有2l+1个ml值,即 L 在z 轴上应 有2l+1个分量，因而 L 有2l+1个取向。
可以看出μB 是轨道磁矩的最小单元
10
另外，因为
第一玻 尔半径
2 2
e 1e 1 B e c(ea1 ) 2 2me 2 c me e 2
原子的磁偶 极矩的量度 精细结构常数 原子电偶极矩的量度
可见磁相互作用至少比电相互作用小两个数量级， 所以电相互作用决定原子的粗线条结构而磁相互 作用决定了原子的精细结构。
9
又因为量子力学中角动量 L 在z方向的投影大小为：
Lz ml ml 0,1,2,, l
其中ml为磁量子数，共有（2l+1）个取值。（此式将在 《量子力学》中学习） 所以 l 在z方向的投影 l , z 为：
l ,z
e Lz m l 2m e ml B m l 0,1,2,, l (18 - 5)
24
25
仔细观察实验结果，我们发现氢（基态）原子 （T=7×104K, kT=9.0eV<10.2eV）进入史特恩－盖拉 赫装置后分裂为两束；基态氧原子分裂为五束，汞原 子束不分裂。
按照氢原子玻尔理论，基态氢是1s态，l＝0，ml＝0， 所以 μz ＝0，不受力，一条原子束不会分裂为两束！ 且分裂条数（2l+1）不可为偶数！！ 如何解释这 一矛盾呢？ 这说明到此为止，我们对原子的描述仍是不完全的，通 过下一节课的学习，我们将使这种描述更趋于完美！
15
实验结果 与经典预 言的对比
怎么解释 预言与结 果的差异 呢？
16
磁场和热平衡时原 子速度分别满足：
B B 0, x y
B 0, z
mv 2 3kT
其中k为玻尔兹曼常量，T为绝对温度 磁矩在非均匀磁场B中如同电偶极子在非均匀电场中一 样，质心会受力作用而运动：
F (-μl B)
第四章
原子的精细结构: 电子的自旋
§4.1 原子中电子轨道的运动磁矩 §4.2 史特恩－盖拉赫实验 §4.3 电子自旋的假设 §4.4 碱金属原子双线结构 §4.5 塞曼效应
1
前面我们用玻尔理论详细讨论了氢原子和碱金 属原子的能级与光谱，理论与实验符合的很好，可 是后来用高分辨率光谱仪观测时发现，上述光谱还 有精细结构，这说明我们的原子模型还很粗糙。本
也是量子化的，人们把这种情况称作空间量子化。
4
1. 电子轨道磁矩的经典表示式
iSn 电磁学中我们学习过，闭合通电回路具有磁矩：
n
i
n
i
L
r

r
e

由于电子带负电，所以它绕核运动就形成一个闭 合通电回路，从而也具有一定的磁矩。
5
电子的轨道磁矩大小的经典表示式为： e 2 e e 2 2 μ i S e r r m e r L 2 2m e 2m e 因为L和μ反向，所以 e μ＝ － L L (18- 1) 2m e
章我们将引进电子自旋假设，对磁矩的合成以及磁
场对磁矩的作用进行讨论，去考察原子的精细结构， 并且我们要介绍史特恩-盖拉赫实验，塞曼效应，碱 金属双线三个重要实验，它们证明了电子自旋假设 的正确性。电子自旋假设的引入，正确解释了氦原
子的光谱和塞曼效应。
2
玻尔理论考虑了原子中最主要的相互作用， 即原子中电子和原子核的静电相互作用，也可以 称为库仑作用，这种作用导致了原子内部的粗线 条结构，如巴尔末光谱系等。
(19- 5)
按照经典预言 z 应该是个连续值，由
B dD B dD 或 于 是个确定值， 2 z mv z 3kT
所以 lz 是个连续值，而l l (l 1)B 是量子化的，只能 cos 是连续的，即 磁矩空间取向是连续的。
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B dD B dD z lz ＝lz 2 z mv z 3kT
l (l 1) B l (l 1) , l 0,1,2,, n 1 (18 - 4)
e B 0.9274 10 23 A m 2 2m e 0.9274 10 23 J T 1 0.5788 10 4 e v T 1
为玻尔磁子，是轨 道磁矩的最小单元。 是原子物理学中的 一个重要常数。
S
2
S
28
“自旋”概念是量子力学中的新概念，与经典力学不相容， 一经提出便遭到泡利等一批物理学家的反对。但后来的事实 证明，自旋的概念是微观物理学最重要的概念之一。 如果视电子为带电小球，半径为0.01nm，它绕自身的 1 轴线旋转，则当其角动量为 时，表面处的切向线速度 2 大大超过光速! 电子自旋假设受到各种实验的支持，是对电子认识的一 个重大发展。狄拉克于1928年找到一种与狭义相对论相融 洽的理论，可由狄拉克相对量子力学严格导出电子自旋的 自然结果。 电子的自旋不能理解为像陀螺一样绕自身轴旋转，它是电 子内部的属性，与运动状态无关。在经典物理中找不到对应 物，是一个崭新的概念
d 即 dt
由此可见，在均匀外磁场B中，高速旋转的磁矩并不 向磁场B方向靠拢，而是以一定的角速度ω绕B作进动， 且ω与B同向 8
2.
的量子表示
l 0,1,2,, n 1
因为μ=-γ L，且量子力学的角动量是量子化的
L l (l 1),
e l 2me
其中l为角动量量子数，所以
1 z az t 2 2 (19- 3)
18
在 x＝ d处
1 1 Fz d 2 z1 a z t 1 2 2 mv 1 B d 2 lz 2 z mv 2
2
在x从d到D＋d/2段 原子不受力，作自由运动。经D-d/2 后沿z偏移为： lz B d D d 2 z 2 v 2 t 2 a z t1 t 2 m z v v 原子沿z总位移 B d d 1 z z1 z 2 lz d( D ) 2
由电磁学知识容易看出，电子的运动使它和 原子核之间除了存在库仑作用之外还应该存在磁 相互作用，而且通过计算得知磁相互作用比电相 互作用要弱的多，既然电相互作用导致了原子的 粗线条结构，那么磁相互作用就决定了原子的精 细结构。而在实验中我们的确发现了光谱线的精 细结构，如巴尔末系中的 H 线不是单线，其中 含有七条谱线等
z 2 2 mv B dD B dD lz ＝ lz 2 z mv z 3kT (19- 4)
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因此说原子蒸气送入不均匀磁场后，发射的原子束分裂 为多束，每束沿z方向偏离平衡位置的距离为： B dD B dD z lz ＝lz 2 z mv z 3kT 如图知：lz l cos