第八讲 变分法
1. 写出使下列泛函取极值的欧拉－拉格朗日方程，并求解：
（1
）1
0x x dx ∫； （2
）10x x dx ∫
规定极值曲线均通过平面上的已知点()00,x y 和()11,x y 。

2. 求锥面222x y z +=上的“短程线”（准确说是测地线）
3. 光在折射率为的介质中传播率为n ds c dt n
ν==， 是真空中的速率，于是光由c A 点()00,x y 传播到点B ()11,x y 的时间便是 ()()()()
11110000,,,,1 x y x y x y x y ds
T n c ν
==∫∫ds 而光由A 到 的实际路径应当使T 取极值。

试求光在下列介质中传播时的实际轨迹： B （1）；（2）(1n k x =+)2k n x =3
+； （3
）n = 其中均为已知常数，
k 22r x y 2=+。

4. 试写出本征值问题 20
0u u u u n λαβΣ∇+=∂⎡⎤+=⎢⎥∂⎣
⎦ 所对应的泛函极值问题，设0β≠。

5. 用瑞利－里兹方法求出
()()
0,
10,
10y y y y λ′′+=−== 的最低的两个本征值的近似解，取试探函数为
(
)()221211y c x c x x =−+−。