(i 1,2, , n)
mi ai ) δ ri 0 (i 1,2, , n)
(F F
i i
Ni
系统的总虚功为
(F F
i i
Ni
mi ai ) δ ri 0
(i 1,2, , n)
利用理想约束条件
F
得到
i
i
Ni
δ ri 0
(m1 m2 ) g m1lcos
2
例题3 质量为m 的三棱柱ABC 1
通过滚轮搁置在光滑的水平面上。 质量为m2、半径为R的均质圆轮沿 三棱柱的斜面AB无滑动地滚下。
y
A ae C2
D
2 ar B
求：1、三棱柱后退的加速度a1； OC 2、圆轮质心C2相对于三棱 柱加速度ar。 解：1、分析运动 三棱柱作平动，加速度为 a1。 圆轮作平面运动，质心的牵连 加速度为ae= a1 ；质心的相对加 速度为ar；圆轮的角加速度为2。
x A y A x B y B yC
l cos l sin l cos l sin 2l sin
m2g
y1
3、应用动力学普遍方程
FIA δx A FIB δxB m1 g δy A m1 g δy B m2 g δyC 0
3、应用动力学普遍方程 rA FIA m1g l
C
O1
x1

l l
A
FIA δx A FIB δxB m1 g δy A m1 g δy B m2 g δyC 0
根据几何关系，有
B
rC
rB FIB
l m1g
x A lsin y A lcos xB lsin y B lcos yC 2lcosBiblioteka (i 1,2, , n)
动力学普遍方程的直角坐标形式
[( F
i
xi
mi i ) δxi ( Fyi mi i ) δyi ( Fzi mi i ) δzi ] 0 x y z i 1,2, , n
动力学普遍方程 适用于具有理想约束或双面约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有定常约束的系统，也适用于 具有非定常约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有完整约束的系统，也适用于 具有非完整约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有有势力的系统，也适用于具有 无势力的系统。
rA FIA m1g l
C
O1
x1

l l
A
x A y A x B y B yC
l cos l sin l cos l sin 2l sin
2
B
rC
rB FIB
l m1g
m2g
y1
2m1lsin lcos 2m1 glsin 2m2 glsin 0
ri r mi i q i 1 k
n n ri d d r i i ( i ) mi (r ) mi r dt qk dt qk i 1 i 1 n
ri N ri ri qk t k 1 qk
dqk qk 广义速度 dt
2 aC g sin 3
0
mgsin x - FIR x M IC
x
R
例 题 2
离心调速器
已知： m1－球A、B 的质量； m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度； － O1 y1轴的旋转角速度。 求： － 的关系。
O1 l l FIA m1g l
C
由动力学普遍方程，得
F δ r m a δ r 0
i 1 i i i 1 i i i N k 1 k k
n
n
F δ r Q q
i 1 i i
n
Qk——广义力
N n ri ri r r mi ai δ r i mi i q qk ( mi i q )qk i 1 k 1 k 1 i 1 i 1 k k
y
A x OC
FI 2 r
MI2
D
C2
FI 2 e
FI1 m1a1
FI2e m2 a1
C1
FI1
m2 g
FI2r m2 ar
M I2 J 2 α 2
J2 1 m2 R 2 2

B
x
m1g
ar R 2
( FI1 FI 2e )x FI 2 r cos x 0
动力学普遍方程的应用
动力学普遍方程 主要应用于求解动力学第二类问 题，即：已知主动力求系统的运动规律。 应用 动力学普遍方程 求解系统运动规律时，重 要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。 应用 动力学普遍方程 ，需要正确分析主动力和 惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。 由于 动力学普遍方程 中不包含约束力，因此， 不需要解除约束，也不需要将系统拆开。
n
T q k
Qk mi ri
i 1
n
ri 0 (k 1,2,, N ) qk
r mi i
i 1
n
ri d T qk dt qk
T q k
d T dt qk
n
n
N
ri ri qk k 1 qk
N
ri r Fi δ r i mi ai δ r i (Qk mi i q )qk 0 i 1 i 1 k 1 i 1 k
n n N n
Qk mi ri
i 1
n
ri 0 (k 1,2,, N ) qk
§5.3.2 拉格朗日(Lagrange)方程
主 动 力
F ( F1 , F2 , , Fn )
由n个质点所 组成的质点系
虚 位 移
广义坐标 第i个质 点的位矢
r (r1 , r2 ,, rn )
q (q1 , q2 , , q N )
ri ri (q1 , q2 , , qN , t )
( m1 m2 ) a1 ar m2 cos
解：5、求解联立方程
1 3 sin (a1cos a r ) 0 g 2
( m1 m2 ) a1 ar m2 cos
m2 gsin2 a1 2 3(m1 m2 )－2m2 cos 2 gsin (m1 m2 ) ar 2 3(m1 m2 )－2m2 cos
ri 1 n 1 n T 2 mri q 2 q (mi ri ri ) 2 q (mi vi ) q k k k k i 1 i 1 i 1
n
ri T mri q q i 1 k k
n
ri d T r mi i q dt q i 1 k k
例 题1
已知： m ，R, f ， 。
x
C

aC
φ
MIC
FIR
求：圆盘纯滚时质心的加速度。
解：1、分析运动，施加惯性力
FIR maC
M IC J C
1 2 其中： J C mR , 2 aC R
mg
2、本系统有一个自由度， 令其有一虚位移 x。 3、应用动力学普遍方程
ri ri 和 仅为时间和广义坐标的 函数， t q j
与广义速度 j无关 q
ri ri 第一个拉格朗日关系式 (消点) qk qk
N ri ri i r qk t k 1 qk
对任意一个广义坐标 qj 求偏导数
N ri 2 ri 2 ri qk q j q j t k 1 q j qk
T q Qk k
(k 1,2,, N )
此即拉格朗日方程，或称为第二类拉格朗日方程。 如果作用在系统上的主动力都是有势力，根据有势力的广义主 动力
J2 1 m2 R 2 2

B
x
m1g
ar R 2
m2 gsin Rδ FI 2ecos Rδ FI 2r Rδ－J 2 2 δ 0
1 3 sin (a1cos a r ) 0 g 2
解：4、应用动力学普遍方程 令： δ x 0，δ 0
动力学普遍方程 和拉格朗日方程
※ ※ ※ 引 言
动力学普遍方程 拉格朗日方程
※ 拉格朗日方程的初积分 ※ 结论与讨论
经典动力学的两个发展方面
拓宽研究领域
牛顿运动定律由单个自由质点
★ 受约束质点和质点系(以达朗贝尔原理为基础)
欧拉将牛顿运动定律
★ 刚体和理想流体 矢量动力学又称为牛顿－欧拉动力学 寻求新的表达形式
第一组
δ x 0，δ 0
第二组
δ x 0，δ 0
解：4、应用动力学普遍方程 令： δ x 0，δ 0
y
A
FI 2 r
MI2
D C2
FI 2 e
FI1 m1a1
FI2e m2 a1
C1 OC
FI1
m2 g
FI2r m2 ar
M I2 J 2 α 2
将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学
★ 建立分析力学的新体系 拉格朗日力学
§5.3.1 动力学普遍方程
考察由n个质点的、具有理想约束的系统。根据 达朗贝尔原理，有
Fi FNi mi ai 0
主动力
(i 1,2, , n)
惯性力
令系统有任意一组虚位移
δ ri
系统的总虚功为