C
O1
x1
δα
l α α l
A
− FIA ⋅ δxA + FIB ⋅ δxB + m1g ⋅ δyA + m1g ⋅ δyB + m2 g ⋅ δyC = 0
根据几何关系，有 根据几何关系，
ωB
δrC
δrB FIB
l m1g
xA = −lsinα yA = lcosα xB = lsinα yB = lcosα yC = 2lcosα
由动力学普遍方程， 由动力学普遍方程，得
∑F ⋅ δr −∑m a ⋅ δr
i =1 i i i =1 i i
n j j
N
N
i
=0
∑F ⋅ δr = ∑Q δ q
i =1 i i j =1
N
Q j ——广义力
n N ∂ri ∂r && ⋅ ∑ δ qj = ∑(∑mi && ⋅ i )δ qj ri ∑miai ⋅ δr i = ∑miri j=1 ∂qj ∂qj i =1 j =1 i =1 i =1
MI2 = J2 α2
J2 = 1 m2 R2 2
α
m2 g
B
x
m1g
ar = Rα2
m2 gsinα ⋅ Rδϕ + FI2ecosα ⋅ Rδϕ − FI2r ⋅ Rδϕ－J2α2 ⋅ δϕ = 0
1 3 sinα ⋅ + (a1cosα − ar ) = 0 g 2
解：4、应用动力学普遍方程 令： δ x ≠ 0，δ ϕ = 0
i i i i i
(i = 1,2, ⋅⋅⋅, N)
动力学普遍方程的直角坐标形式
∑[(F
i
ix
− mi &&i ) ⋅ δxi + (F − mi &&i ) ⋅ δyi + (Fiz − mi &&i ) ⋅ δzi ] = 0 x y z iy i =1,2, ⋅⋅⋅, N
动力学普遍方程 适用于具有理想约束或双面约束的系统。 适用于具有理想约束或双面约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有定常约束的系统，也适用于 既适用于具有定常约束的系统， 具有非定常约束的系统。 具有非定常约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有完整约束的系统，也适用于 既适用于具有完整约束的系统， 具有非完整约束的系统。 具有非完整约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有有势力的系统，也适用于具有 既适用于具有有势力的系统， 无势力的系统。 无势力的系统。
ωB
l m1g m2g y1
FIB
球A、B绕 y轴等速转动；重锤静止不动。 轴等速转动；重锤静止不动。 球A、B的惯性力为
FIA = FIB = mlsin αω2
2、令系统有一虚位移δα。A、B、C 三处的 虚位移分别为δ 虚位移分别为δrA、δrB、 δrC 。 3、应用动力学普遍方程 δrA FIA m1g l
解：5、求解联立方程
1 3 sinα ⋅ + (a1cosα − ar ) = 0 g 2
(m + m2 )a1 1 ar = m2 cosα
m2 gsin2α a1 = 2 3(m + m2 )－ m2cos α 2 1 2gsin α(m + m2 ) 1 ar = 2 3(m + m2 )－ m2cos α 2 1
j
j
& ∂ri d N & = ∑mri ⋅ & dt i=1 ∂qj
δri
系统的总虚功为
(i =1,2, ⋅⋅⋅, N)
− miai ) ⋅ δri = 0 (i =1,2, ⋅⋅⋅, N)
∑(F + F
i i
Ri
系统的总虚功为
∑(F + F
i i
Ri
− miai ) ⋅ δri = 0
(i = 1,2, ⋅⋅⋅, N)
利用理想约束条件
∑F
i
RiΒιβλιοθήκη ⋅ δri = 0∂ri ∂ri 函数， 和 仅为时间和广义坐标的 函数， ∂t ∂q j
q 与广义速度& j无关
& ∂ri ∂ri = ⇒ 第一个Lagrange经典关系(消点) 第一个Lagrange经典关系 消点) 经典关系( & ∂qj ∂qj
n ∂ri ∂ri &= & ri qk +∑ ∂t k =1 ∂qk
拉格朗日(Lagrange) 拉格朗日(Lagrange)方程
主 动 力 虚 位 移 由N个质点所 组成的质点系 广义坐标 第i个质 点的位矢
F , F2 , ⋅⋅⋅, FN 1
δ r1,δ r2 ,L,δ rN
q1, q2 , ⋅⋅⋅, qn
ri = ri (q1, q2 , ⋅⋅⋅, qn , t)
动力学普遍方程 和拉格朗日方程
※ ※ ※ 引 言 动力学普遍方程 拉格朗日方程
※ 拉格朗日方程的初积分 ※ 结论与讨论
经典动力学的两个发展方面
拓宽研究领域
牛顿运动定律由单个自由质点
★ 受约束质点和质点系(以达朗贝尔原理为基础) 受约束质点和质点系(以达朗贝尔原理为基础)
欧拉将牛顿运动定律
★ 刚体和理想流体 矢量动力学又称为牛顿－ 矢量动力学又称为牛顿－欧拉动力学 又称为牛顿 寻求新的表达形式
将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学
★ 建立分析力学的新体系 拉格朗日力学
动力学普遍方程
考察由N个质点的、具有理想约束的系统。 考察由N个质点的、具有理想约束的系统。根据 达朗贝尔原理， 达朗贝尔原理，有
Fi + FRi − miai = 0
主动力
(i = 1,2, ⋅⋅⋅, N)
惯性力
令系统有任意一组虚位移
δ x = 0，δ ϕ ≠ 0
第二组
二自由度系统具有两组虚 位移： 位移：
δ x ≠ 0，δ ϕ = 0
解：4、应用动力学普遍方程 令： δ x = 0，δ ϕ ≠ 0
y A
FI 2 r
MI2
δϕ D C2
FI 2 e
FI1 = m a1 1
FI2e = m2a1
C1 OC
FI1
FI2r = m2ar
y A δx OC
FI 2 r
MI2
D C2
FI 2 e
FI1 = m a1 1
FI2e = m2a1
C1
FI1
FI2r = m2ar
MI2 = J2 α2
J2 = 1 m2 R2 2
α
m2 g
B
x
m1g
ar = Rα2
− (FI1 + FI2e )δx + FI2r cosα ⋅δx = 0
(m + m2 )a1 1 ar = m2 cosα
& ∂ri ∂qj
＝
d ∂ri ∂q dt j
第二个拉格朗日关系式
N N ∂ri ∂ri d d ∂ri & & ri ∑mi&& ⋅ ∂q = ∑mi dt (ri ⋅ ∂q ) −∑mi ri ⋅ dt (∂q ) i =1 i =1 i =1 j j j N
N & & ∂ri d r ∂ri & ∂ri mi ∂ (ri ⋅ & =∑ = i& ) − ∑mi ri ⋅ d ∂ri & dtq ∂qj ∂dtj ∂q q i =1 i =1 & ∂q ∂ N
y A a1 C1 ae C2 α
D α2 ar B
求：1、三棱柱后退的加速度a1； 三棱柱后退的加速度a OC 2、圆轮质心C2相对于三棱 圆轮质心C 相对于三棱 柱加速度a 柱加速度ar。 解：1、分析运动 三棱柱作平动， 三棱柱作平动，加速度为 a1。 圆轮作平面运动，质心的牵连 圆轮作平面运动， 加速度为a 加速度为ae= a1 ；质心的相对加 速度为a 圆轮的角加速度为α 速度为ar；圆轮的角加速度为α2。
N
N
n
∂ri δ ri = ∑ δ qj j =1 ∂q j
n
∂r ∂ri && ∑Fi ⋅ δr i −∑miai ⋅ δr i = ∑(Qj − ∑miri ⋅ ∂q )δ qj = 0 i =1 i =1 j =1 i=1 j
N N n N
∂ri Qj − ∑mi && ⋅ ri = 0 ( j = 1,2,L, n) ∂qj i =1
(m1 + m2 )g ω = m1lcosα
2
例题3 质量为m 三棱柱ABC 例题3 质量为m 的三棱柱ABC 1
通过滚轮搁置在光滑的水平面上。 通过滚轮搁置在光滑的水平面上。 质量为m 半径为R 质量为m2、半径为R的均质圆轮沿 三棱柱的斜面AB无滑动地滚下 无滑动地滚下。 三棱柱的斜面AB无滑动地滚下。
δrA FIA m1g l
C
O1
x1
δα
l α α l
A
δxA = −l cosαδα δyA = −l sin αδα δxB = l cosαδα δyB = −l sin αδα δyC = −2l sin αδα
ωB
δrC
δrB FIB
l m1g
m2g y1
2m1lsinαω2lcosαδα− 2m1glsinαδα− 2m2 glsinαδα = 0
动力学普遍方程的应用
动力学普遍方程 主要应用于求解动力学第二类问
题，即：已知主动力求系统的运动规律。 已知主动力求系统的运动规律。
应用 动力学普遍方程 求解系统运动规律时，重 求解系统运动规律时， 要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。 要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。 应用 动力学普遍方程 ，需要正确分析主动力和 惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。 惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。 由于 动力学普遍方程 中不包含约束力，因此， 中不包含约束力，因此， 不需要解除约束，也不需要将系统拆开。 不需要解除约束，也不需要将系统拆开。