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高中数学--离散型随机变量的均值与方差、正态分布

高中数学--离散型随机变量的均值与方差、正态分布1.已知随机变量X 服从二项分布,且E (X )=2.4,D (X )=1.44,则二项分布的参数n ,p 的值为( ) A .n =4,p =0.6 B .n =6,p =0.4 C .n =8,p =0.3D .n =24,p =0.1【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ np =2.4,np (1-p )=1.44,解得⎩⎪⎨⎪⎧n =6,p =0.4.【答案】 B2.设两个正态分布N (μ1,σ21)(σ1>0)和N (μ2,σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示,则有( )A .μ1<μ2,σ1<σ2B .μ1<μ2,σ1>σ2C .μ1>μ2,σ1<σ2D .μ1>μ2,σ1>σ2【解析】 根据正态分布N (μ,σ2)函数的性质:正态分布曲线是一条关于直线x =μ对称,在x =μ处取得最大值的连续钟形曲线;σ越大,曲线的最高点越低且较平缓;反过来,σ越小,曲线的最高点越高且较陡峭,故选A.【答案】 A3.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ,得2分的概率为b ,不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0,1)),已知他投篮一次得分的均值为2,则2a +13b的最小值为( )A.323 B.283 C.143D.163【解析】 由已知得,3a +2b +0×c =2, 即3a +2b =2,其中0<a <23,0<b <1.又2a +13b =3a +2b 2⎝⎛⎭⎫2a +13b =3+13+2b a +a 2b ≥103+22b a ·a 2b =163, 当且仅当2b a =a 2b ,即a =2b 时取“等号”,又3a +2b =2,即当a =12,b =14时,2a +13b 的最小值为163,故选D.【答案】 D4.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表:请小牛同学计算ξ的数学期望.尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案E (ξ)=__________.【解析】 令“?”为a ,“!”为b ,则2a +b =1.又E (ξ)=a +2b +3a =2(2a +b )=2. 【答案】 25.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X 表示.(1)如果X =8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差;(2)如果X =9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数Y 的分布列和数学期望. (注:方差s 2=1n [(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2],其中x 为x 1,x 2,…,x n 的平均数)【解】 (1)当X =8时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10, 所以平均数为:x =8+8+9+104=354;方差为:s 2=14×[(8-354)2+(8-354)2+(9-354)2+(10-354)2]=1116.(2)当X =9时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵数是:9,9,11,11;乙组同学的植树棵数是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有4×4=16种可能的结果,这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y =17”等价于“甲组选出的同学植树9棵,乙组选出的同学植树8棵”,所以该事件有2种可能的结果,因此P (Y =17)=216=18.同理可得P (Y =18)=14;P (Y =19)=14;P (Y =20)=14;P (Y =21)=18.所以随机变量Y 的分布列为:EY =17×P (Y =17)+18×P (Y =18)+19×P (Y =19)+20×P (Y =20)+21×P (Y =21)=17×18+18×14+19×14+20×14+21×18=19.课时作业【考点排查表】1.(2010·全国新课标高考)某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X ,则X 的数学期望为( )A .100B .200C .300D .400【解析】 1 000粒种子每粒不发芽的概率为0.1, ∴不发芽的种子数X ~B (1 000,0.1),∴1 000粒种子中不发芽的种子数为1 000×0.1=100粒, 又每粒不发芽需补种2粒; ∴需补种的数X =2×100=200. 【答案】 B2.(2010·广东高考)已知随机变量X 服从正态分布N (3,1),且P (2≤X ≤4)=0.682 6,则P (X >4)=( ) A .0.158 8 B .0.158 7 C .0.158 6D .0.158 5【解析】 由正态曲线性质知,其图象关于x =3对称, ∴P (x >4)=0.5-12P (2≤x ≤4)=0.5-12×0.682 6=0.158 7.故选B.【答案】 B3.若X 是离散型随机变量,P (X =x 1)=23,P (X =x 2)=13,且x 1<x 2,又已知E (X )=43,D (X )=29,则x 1+x 2的值为( )A.53 B.73 C .3D.113【解析】 由E (X )=23x 1+13x 2=43得2x 1+x 2=4①又D (X )=(x 1-43)2·23+(x 2-43)2·13=29得18x 21+9x 22-48x 1-24x 2+29=0②由①②,且x 1<x 2得x 1=1,x 2=2,∴x 1+x 2=3. 【答案】 C4.已知随机变量X +η=8,若X ~B (10,0.6),则E (η),D (η)分别是( ) A .6和2.4B .2和2.4C .2和5.6D .6和5.6【解析】 若两个随机变量η,X 满足一次关系式η=aX +b (a ,b 为常数),当已知E (X )、D (X )时,则有E (η)=aE (X )+b ,D (η)=a 2D (X ).由已知随机变量X +η=8,所以有η=8-X .因此,求得E (η)=8-E (X )=8-10×0.6=2,D (η)=(-1)2D (X )=10×0.6×0.4=2.4. 【答案】 B5.设随机变量ξ服从正态分布N (μ,σ2),函数f (x )=x 2+4x +ξ没有零点的概率是12,则μ等于( )A .1B .4C .2D .不能确定【解析】 根据题意,函数f (x )=x 2+4x +ξ没有零点时,Δ=16-4ξ<0,即ξ>4,根据正态密度曲线的对称性,当函数f (x )=x 2+4x +ξ没有零点的概率是12时,μ=4.【答案】 B6.利用下列盈利表中的数据进行决策,应选择的方案是( )A.A 1 B .A 2 C .A 3D .A 4【解析】 利用方案A 1、A 2、A 3、A 4盈利的期望分别是: 50×0.25+65×0.30+26×0.45=43.7; 70×0.25+26×0.30+16×0.45=32.5; (-20)×0.25+52×0.30+78×0.45=45.7; 98×0.25+82×0.30+(-10)×0.45=44.6. 【答案】 C 二、填空题7.已知随机变量X 的分布列为那么X 的数学期望E (X )=______E (Y )=________. 【解析】 由离散型随机变量的期望公式及性质可得, E (X )=(-1)×12+0×16+1×13=-16,E (Y )=E (2X +1)=2E (X )+1=2×(-16)+1=23.【答案】 -16 238.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N (1,σ2)(σ>0),若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率为________.【解析】 在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N (1,σ2)(σ>0),正态分布图象的对称轴为x =1,ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,可知,随机变量ξ在(1,2)内取值的概率与ξ在(0,1)内取值的概率相同,也为0.4,这样随机变量ξ在(0,2)内取值的概率为0.8.【答案】 0.89.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中任取3件,若ξ表示取到次品的个数,则E (ξ)=__________. 【解析】 ξ的取值为0,1,2,3,则P (ξ=0)=C 312C 316=1128;P (ξ=1)=C 212C 14C 316=3370;P (ξ=2)=C 112C 24C 316=970;P (ξ=3)=C 34C 316=1140.∴E (ξ)=0×1128+1×3370+2×970+3×1140=34.【答案】 34三、解答题10.一名学生在军训中练习射击项目,他们命中目标的概率是13,共射击6次.(1)求在第三次射击中首次命中目标的概率; (2)求他在射击过程中命中目标数ξ的期望与方差.【解】 (1)第三次射击中首次命中的意思是第一、二次都未命中而第三次命中,这是相互独立事件同时发生的概率.又∵P =13,P =23,∴P 3=23×23×13=427.(2)他在每次射击中是否命中目标是相互独立的,所以是进行了6次独立重复试验, 即随机变量ξ服从二项分布ξ~B (6,13).由服从二项分布的期望与方差的计算公式知 Eξ=np =6×13=2,Dξ=np (1-p )=6×13×23=43.11.(2012·北京高考)近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应分垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):(1)(2)试估计生活垃圾投放错误额概率;(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ,b ,c 其中a >0,a +b +c =600.当数据a ,b ,c 的方差s 2最大时,写出a ,b ,c 的值(结论不要求证明),并求此时s 2的值.(注:s 2=1n [(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2],其中x 为数据x 1,x 2,…,xn 的平均数)【解】 (1)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾=400400+100+100=23.(2)设生活垃圾投放错误为事件A ,则事件A 表示生活垃圾投放正确.事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量,即P (A )约为400+240+601000=0.7,所以P (A )约为1-0.7=0.3.(3)当a =600,b=c =0,s 2取得最大值. 因为x -=13(a +b +c )=200,所以s 2=13[(600-200)2+(0-200)2+(0-200)2]=80000.12.(2012·江西高考)如图,从A 1(1,0,0),A 2(2,0,0),B 1(0,1,0),B 2(0,2,0),C 1(0,0,1),C 2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点,将这3个点及原点O 两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量V (如果选取的3个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积V =0).(1)求V =0的概率;(2)求V 的分布列及数学期望.【解】 (1)从6个点中随机地选取3个点共有C 36=20种选法,选取的3个点与原点O 在同一个平面上的选法有C 13C 34=12种,因此V =0的概率P (V =0)=1220=35(2)V 的所有可能值为0,16,13,23,43,因此V 的分布列为由V 的分布列可得:EV =0×35+16×120+13×320+23×320+43×120=940.四、选做题13.某产品按行业生产标准分成8个等级,等级系数X 依次为1,2,…,8,其中X ≥5为标准A ,X ≥3为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品,产品的零售价为6元/件;乙厂执行标准B 生产该产品,产品的零售价为4元/件,假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.(1)已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如下所示:且X 1的数学期望E (X 1)=6,求a (2)为分析乙厂产品的等级系数X 2,从该厂生产的产品中随机抽取30件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下:3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 56 7用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数X 2的数学期望;(3)在(1)、(2)的条件下,若以”性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可购买性?说明理由. 注:(1)产品的“性价比”=产品的等级系数的数学期望产品的零售价;(2)“性价比”大的产品更具可购买性. 【解】 (1)因为E (X 1)=6,所以5×0.4+6a +7b +8×0.1=6,即6a +7b =3.2. 又由X 1的概率分布列得0.4+a +b +0.1=1,即a +b =0.5.由⎩⎪⎨⎪⎧ 6a +7b =3.2,a +b =0.5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =0.3,b =0.2.(2)由已知得,样本的频率分布表如下:2所以E (X 2)=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8. 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.(3)乙厂的产品更具可购买性.理由如下:因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6,价格为6元/件,所以其性价比为66=1.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8,价格为4元/件,所以其性价比为4.84=1.2.据此,乙厂的产品更具可购买性.。

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