经过一次抽样否，样本(X1,X2,…,Xn)又是 一组确定的样本值(x1,x2,…,xn)。
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由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断， 为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息， 必须考虑抽样方法. (2). 简单随机样本
最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽 样”，它要求抽取的样本满足下面三点:
解
例题 值1 样本 32 中位数 31 样本均值 36.5 样本极差 37 值2 65 值3 28 值4 35 值5 30 值6 29
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4. 经验分布函数
(1). 定义
当给定次序统计量的一组值 定义对
称Fn(x)为总体X的经验分布函数。为样本值不 超过x的频率。 上页 下页 返回
经验分布函数Fn(x)从样本直观得到描述性分布.
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样本是随机变量.
抽到哪5辆是随机的
容量为n的样本可以看作n维随机向量.
但是，一旦取定一组样本，得到的是n个具 体的数 (X1,X2,…,Xn)，称为样本的一次观察值， 简称样本值 .
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样本具有两重性： 10. 随机性 样本(X1,X2,…,Xn)本身是随机向量。
20. 相对确定性
若n2>2
EX不依赖于第 一自由度n1.
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20. 若n1=1时，F～F(1, n2)= t 2(n2).
30. 极限分布 若X~F(n1,n2)， n2>4，则
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40. 分解定理： 设X1, … ,Xn～N(0,σ2)且相互独立,
是柯赫伦(Cochran)分解定理的具体应用， 它也在方差分析中有重要作用。
某批 灯泡的寿命
国产轿车每公里 的耗油量
该批灯泡寿命的 全体就是总体
国产轿车每公里耗油 量的全体就是总体
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由于每个个体的出现是随机的，所以相应 的数量指标的出现也带有随机性. 从而可以把 这种数量指标看作一个随机变量，因此随机变 量的分布就是该数量指标在总体中的分布. 这样 总体就可以用一个随机变量及其分布来描述.
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(3). T变量的性质：
10. T ～ t(n)为具有自由度为n的t分布的随机变 量，则T的数字特征具有如下性质： 当 n =1时， T ～ t(n)实际上是柯西分布，任何 阶矩均不存在；
当n >2， E(T)=0; D(T)=n / (n-2) . 且有
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事实上
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它反映了总体k 阶矩 的信息
它们均是随机变量
样本k－阶中心矩
它反映了总体k 阶 中心矩的信息
k=1,2,…
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k=1时， A1称为样本均值
样本均值 k=2时， B2称为样本方差
它反映了总体 均值的信息 它反映了总体 方差的信息
更加常用简称为 样本方差
样本方差
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(2). 矩的性质
其在方差分析中有很重要的作用。
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40. 极限分布
应用Lindeberg中心极限定理可得：
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3. t －分布 (1). 定义: 设X～N(0,1) , Y～ 2(n), 且相互独立，则称随机 变量 记为T～t(n). 所服从的分布为自由度为 n的 t 分布，也称为t变量. (2). T变量的密度函数为：
数学定义： n个随机变量X1,X2,…,Xn独立同分 布(X与同分布)，则称(X1,X2,…,Xn)来自总体X的容 量为n的简单随机样本，简称为样本.
简单随机样本是应用中最常见的情形，今后， 当说到“X1,X2,…,Xn是取自某总体的样本”时， 若不特别说明，就指简单随机样本.
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3. 总体、样本、样本值的关系 事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、 确定的值. 如我们从某班大学生中抽取10人测量 身高，得到10个数，它们是样本取到的值而不是 样本. 我们只能观察到随机变量取的值而见不到 随机变量.
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2、 2 分布
是由正态分布派生出来的一种分布. (1). 定义 设 X1, … ,Xn～N(0,1)且相互独立,则称随机变量：
所服从的分布为自由度为 n 的 n为独立随机正态变量的个数, 也称为
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其中 Γ(x)为伽玛(Gamma)函数
可由数归 法得到
具有如下性质：
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也称为F变量 服从自由度为n1及 n2 的F－分布，n1称为第一自 由度， n2称为第二自由度，记作 F～F(n1, n2) . 由定义可见， ～F(n2, n1)
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(2). 若X~F(n1,n2)， X的概率密度为
(3). F变量的性质 10. 若X~F(n1,n2)，X的数学特征:
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(2). 最小、最大的分布
另外，(X(1),X(2),…,X(n))联合密度
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(3). 中位数、样本极差
中位数
样本极差 次序统计量、中位数、样本极差都是统计量。 极差可以反映样本值变化的程度或离散程度。
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例1. 用Excel计算下列样本中位数、均值、方 差、标准差、极差.
则称 x是X (概率分布)的 －上侧分位点.
特别地； (1).正态分布
查表P355页表1.
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查表P362页表4.
(3). T～ t(n) 学生氏分布
查表P360页表3.
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(4).F ~ F(m,n)
查表P366页表5.
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例1
解
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例2
解
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样本直方图可以描述. (2). 经验分布函数的性质 10. 具有通常分布函数的三个性质,图形呈跳跃上升； 20. Fn(x)是一个随机变量；
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30. 经验分布函数Fn(x)与总体分布函数F(x)的关系
格列汶科(Glivenko)定理：
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三、 抽样分布
统计量既然是依赖于样本的，而后者又是随 机变量，故统计量也是随机变量，因而就有一定 的分布，这个分布叫做统计量的“抽样分布” . 精确抽样分布 (小样本问题中使用) 抽样分布 渐近分布
10.随机性： X1,X2,…,Xn每个结果等可能被抽取。 20.代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体 有相同的分布； 30.独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量,每 个样本值互不干扰。
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由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样 本，它可以用与总体独立同分布的n个随机变量 X1,X2,…,Xn表示.
X1,X2,…,Xn是来自总体X～
则有
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30. 的说明
又相互独立
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2. 两个正态总体
情形
定理 3.
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或
也有
或
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或
统计四大分布的定义、基本性质以及 上述抽样分布定理在后面的学习中经常 用到，要理解，牢记！！
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五、分位点
下面给出概率分布的上侧分位数(分位点)的定义， 它在计算统计查表时经常使用. 1. 定义 设X是随机变量，对(0,1)，若存在x使
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总体（理论分布） ？ 样本 样本值
统计是从手中已有的资料--样本值，去推断总 体的情况---总体分布F(x)的性质. 样本是联系二者的桥梁
总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是 样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断 总体.
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实际上，样本的分布与总体分布的关系如下 定理1. 若总体的分布函数为F(x)，则其简单随 机样本的联合分布函数为
§3 基本概念与抽样分布
一、基本概念 二、统计量 三、抽样分布 四、抽样分布定理 五、分位点
一、基本概念
1. 总体 一个统计问题总有它明确的研究对象. 研究对象的全体称为总体(母体)， 总体中每个成员称为个体.
总体
…
研究某批灯泡的质量
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然而在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心 其每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标 在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有的数量 指标的全体就是总体.
统计中，总体这个概念的要旨是：
总体就是一个随机变(向)量或其概率分布.
数理统计研究的内容： 总体相应随机变(向)量
的概率分布及数字特征.
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2. 样本
(1). 抽样、样本、样本值 为推断总体分布及各种特征，按一定规则从 总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关 总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所 抽取的部分个体称为样本. 样本中所包含的个体 数目称为样本容量. 从国产轿车中抽5辆 进行耗油量试验 样本容量为 5
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二、统计量
1. 定义
由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行 “加工”，这就要构造一些样本的函数，它把样 本中所含的（某一方面）的信息集中起来.
设(X1,X2,…,Xn)为总体X的一个样本, f(X1,X2,…,Xn) 是一个不含任何有关总体分布未知参数的函数，称 为此总体的一个统计量，它是完全由样本决定的量. 统计量实际上也是一个随机变量，它是一个 随机向量的函数。