例2：若X、Y有如下联合分布，则X,Y相互独立吗？
X 0 1
Y
1 1/10 0
2 0 4/10
3 0 2/10
4 0 1/10
P{X=j}
2
P{Y=i}
0
0
0
2/10
连续型随机变量独立的条件
若X，Y是连续型随机变量，则 X与Y相互独立的充 分必要条件是下式几乎处处成立：
例3：若X，Y有如下联合概率密度函数，则X、Y相互独立 吗？P78eg2
作积分变换：
所以 X服从正态分布即
同理可得Y的分布密度：
二元正态分布的边缘分布是一元正态分布并且与 参数ρ无关。
例题：已知二维随机变量( X , Y )的联合概率密度为
求Y 的边缘概率密度 fY ( y ) . 解：
当0<y<1与y>1 时被积函数非0 区域不同!
二维随机变量( X , Y )的联合概率密度图
布称为边缘分布。相应地有边缘分布函数、边缘
分布律、边缘概率密度。 边缘分布也称为边沿分布或边际分布． 通常联合分布中包括更多的信息，一旦 知道联合分布就可以求边缘分布。
边缘分布函数求法
设随机向量(X，Y)有联合分布函数F(x,y),欲求边缘分 布函数 FX(x),FY(y)。
FX ( x) P{X x} P{X x, Y } F ( x, ) FY ( y) P{Y y} P{ X , Y y} F (, y)
多维随机变量及独立性
n维随机变量X1,X2,…,Xn的独立性：
n维连续型随机变量X1,X2,…,Xn与另一个m维随机变量 Y1,Y2,…,Ym的独立性：
关于多维随机变量独立性的定理
设n维连续型随机变量X1,X2,…,Xn与另一个m维随机变量 Y1,Y2,…,Ym是相互独立性的，则
（1）任何一个Xi与另一个Yj是相互独立性的;
（2）任何两个Xj，Xj与另两个Yk,Yl是相互独立性的; （3）若h,g是两个n元与m元连续函数，则 h(X1,X2,…,Xn)与g(Y1,Y2,…,Ym)是相互独立性的;
这些结论在数理统计中经常用到。
解：X=1,2，3,4，而 Y=1，。。。，X
故所求的边缘分布律与联合分布律为：
思考：能不通过求联合分布求Y的分布律吗？
边缘密度函数的求法
若已知连续型随机向量(X,Y)的联合概率密度函数f(x,y), 则也可求出它的边缘概率密度函数。事实上：
例4：设区域D是由曲线y=x2与直线y=x围成，并且随机向量 (X，Y)服从D上的均匀分布，求联合概率密度与边缘概率 密度函数。
故X，Y 的联合分布律可以设成：
故X，Y 的联合分布律可以设成：
由边缘分布确 定联合分布需 要更多的条件 ！因此可以猜 测联合分布中 包含有X，Y之 间更多的信息 ！
从而得其中 的各个参数 值，分布律 如右：
相互独立的随机变量
随机事件之间具有相互独立性，它们发生与否互不影响，我 们可以将独立概念推广到随机变量。 但要求对任何的x,y随机事件{X≤x}与{Y≤y}相互独立时 才称随机变量X、Y相互独立。 定义1 若二维随机变量(X,Y)对任意的实数 x,y均有
或用分布函数表示
成立，则称随机变量X与Y相互独立。
离散型随机变量独立的条件
若X，Y是离散型随机变量，则X与Y 相互独立 的充分必要条件是：对X，Y的任何取值成立：
例1：若X，Y有如下联合分布，则X，Y相互独立吗？
Y 1 2 P{X=i} X 0 1/6 1/6 1 2/6 2/6 P{Y=j}
离散型随机变量独立的条件
当 0<y<1时，应当 x>1/y，故有
当y>1时，应当 x>y，故有
因此所求概率密度函数为：
画图的代码
function bbb y=-1:0.1:4;
% for i=1:n
% % % if y(i)>0 && y(i)<1 z(i)=0.5; else if y(i)>=1 z(i)=1/(2*y(i)^2); else z(i)=0;
例题：已知二维随机变量( X , Y )的联合概率密度为
求关于X，Y 的边缘概率密度 fX(x), fY ( y ) .
解：
对称区间上的 奇函数！
仅由概率密度 函数无法确定 联合概率密度 函数！但是如 果还有它们之 间联系的条件 则可能！
例题：已知二维随机变量( X , Y )的边缘分布律为
并且P{XY=0}=1，求关于X，Y 的联合分布律。 解：
求边缘分布函数的公式为：
FX ( x) F ( x, ) FY ( y) F (, y)
例1： 设(X,Y)联合分布函数为：
试求： (1)常数A，B，C。(2) X与Y的分布函数。 解：由分布函数的性质得：
x 0 F ( x, ) A B arctan C 2 2
我们不用这 段代码来求 函数值。
z=f(y)
plot(y,z);
function z=f(y)
n=length(y); z=zeros(n,1); l1=(y>0&y<1); l2=(y>=1); z(l1)=0.5; z(l2)=1./(2*y(l2).^2);
% % %
%
% % end end
end
解：先求面积A：
y
y=x y=x2
o
二元均匀分 布概率密度 函数？
1
当 0<x<1 时
y
y=x
y=x2 1 x
o
当 0<y<1 时：
y y=x y=x2 1 x
o
例题1：设随机向量(X，Y)服从二维正态分布即具 有概率密度函数：
求X，Y的概率密度函数。 解：为了便于进行如下积分，我们先作配方。
由边缘分布函数的公式得：

显然有：
这说明边缘分布函数的积等于联合分布函数!
边缘分布律求法
设已知(X,Y)的联合分布律：
欲求边缘分布律即X与Y的分布律。事实上：
如果是有 限随机变 量，则求 和时不必
边缘分布律求法
例2：从1,2,3,4四个数中随机取一个数记成随机变量X， 再从1到X中随机取一个数记成随机变量Y，求联合分布 律与边缘分布律。
二维随机变量( X , Y )的联合概率密度图
function bbb
[x,y]=meshgrid(0:0.1:4);
z=f(x,y); mesh(x,y,z);
function z=f(x,y) z=zeros(size(x));
l=(x>=1&y>1./x&y<=x);
z(l)=1./(2*x(l).^2.*y(l));
同理可得：
例2 已知随机变量(X，Y)的分布律为
且X与Y相互独立,求α,β. 解 先求边缘分布律
可用 独立性来确定常数即：
例3
设二维随机变量(X，Y)在区域G上服从均匀分布，
试求U、V的联合分布律，并判断U、V是否相互独立。
解：先写出联合概率密度函数：
于是得 U、V 的联合分布律和边缘分布律：
边缘分布
两个随机变量作为一个整体即随机向量时有联合分布，但 每个向量作为一个个体看待时也应当有自己的分布！
边缘分布
现在问联合分布已知时，随机变量X，Y的分布是什么？
边缘分布
如果已知随机变量X,Y的分布，能否由它们确定（X,Y)联合 分布？即整体分布？
边缘分布的定义
我们将构成随机向量(X,Y)的分量X与Y的分
例 5 若 二 维 随 机 变 量 (X ， Y) 服 从 正 态 分 布 ， 试 证 X 、 Y 相互独立的充分必要条件是ρ=0。 。
证:
边缘分布密度为：
多维随机变量及独立性
二维随机变量的有关概念可以扩展到更高维随机变量。 n维随机变量的分布函数：
n维连续型随机变量的分布函数与概率密度函数：
n维连续型随机变量的边缘分布：