则 Tr＋1＝C10r(x2)10－r·21 xr＝
.
令 20－52r＝0，得 r＝8，∴T9＝C108128＝24556.
∴二项式x2＋21 x10 的展开式中的常数项是：第 9 项24556.
令276－r∈Z，即 4＋3－6 r∈Z，用 r＝0,1,2，…，9 代入检验，得：r＝3 或 r＝9.
• (2)S＝C271＋C272＋…＋C2727＝227－1 • ＝89－1＝(9－1)9－1
• ＝C90×99－C91×98＋…＋C98×9－C99－1 • ＝9×(C90×98－C91×97＋…＋C98)－2 • ＝9×(C90×98－C91×97＋…＋C98－1)＋7， • 显然上式括号内的数是正整数．
∴CC1100rr··221100－ －rr≥ ≥CC1100rr－ ＋
1·210－r＋1 1·210－r－1
，
得C2C101r0≥r≥2CC1100rr－ ＋11 ，即121r－＋r1≥≥2r10－r ，
解得83≤r≤131.∵r∈Z，∴r＝3，
故 系 数 的 绝 对 值 最 大 的 是 第 4 项 ， T4＝ － C103·27·x4＝ － 15360x4.
解
析
：
1＋x＋x12
10＝
[(1
＋
x)
＋
1 x2
]10
＝
C10＋
x)9x12＋C102(1＋x)8x14＋C103(1＋x)7x16＋
C104(1＋x)6x18＋…
从第五项 C104(1＋x)6x18起，后面各项不再出现常数项，前四项
的常数项分别是 C100×C100，C101×C92，C102×C84，C103×C76.
• [点评] 在运用二项式定理时不能忽视展开式中 系数的正负符号．当然还需考虑二项式系数与 展开式某项的系数之间的差异：二项式系数只 与二项式的指数和项数有关，与二项式无关； 而项的系数不仅与二项式的指数和项数有关， 还与二项式有关．值得注意的是，本例中是求 “系数的绝对值最大的项”，若改为“系数最 大的项”又该如何处理？因为第4项的系数为负 值，所以系数最大项必是第3项或第5项中的某 一项．比较这两项的系数C10228与C10426大小即 可．
• 【典例3】 (1)求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能 被31整除(n∈N*)；
• (2)求S＝C271＋C272＋…＋C2727除以9的余数． • [分析] 将已知的式子适当整理化简，再根据
题目的要求选择合适的解法．
[解析] (1)证明：∵1＋2＋22＋…＋25n－1＝225n－－11 ＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1 ＝Cn0×31n＋Cn1×31n－1＋…＋Cnn－1×31＋Cnn－1 ＝31(Cn0×31n－1＋Cn1×31n－2＋…＋Cnn－1) 显然上式括号内为整数． ∴原式能被 31 整除．
• 答案：D
• 类型一 求展开式的指定项
• 解题准备：利用展开式中Tr＋1可求如下问题： • (1)求指定项．(2)求特定项，如常数项，即字母
的次数为0.(3)求指定项、特定项的系数．
【典例 1】
(1)求二项式x2＋2
1
10
x
的展开式中的常数项；
(2)求( x－ 3 x)9 展开式中的有理项．
• [分[解析析]] (1)利设第用r通＋1项项为公常式数项．，
• ∴被100除的余数为81，即9192除以100的余数 为81.
• 解法二：∵9192＝(90＋1)92 • ＝ C920·9092 ＋ C921·9091 ＋ … ＋ C9290·902 ＋
C9291·90＋1 • 由于前面各项均能被100整除，只有末尾两项不
• 故S被9除的余数为7.
• [点评] 有关整除性问题是二项式定理的应用 之一，其关键在于如何把问题转化为一个二项 式，注意结合二项式的展开式和整除的有关性 质解决问题．
• 探究3：9192除以100的余数是________．
• 分析：转化为二项展开式来求．
• 解 析 ： 解 法 一 ： 9192 ＝ (100 － 9)92 ＝ 10092 － C921·10091·9 ＋ C922·10090·92 － … － C9291·100·991＋992，前面各项均能被100整除， 只 有 末 项 992 不 能 被 100 整 除 ， 于 是 求 992 除 以 100的余数．
• (3)各二项式系数的和
• (a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n， 即Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnr＋…＋Cnn＝2n.
• (4)二项展开式中，偶数项中的二项式系数的和 等于奇数项的二项式系数的和，即Cn1＋Cn3＋ Cn5＋…＝Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝2n－1.
考点陪练
1.1＋x25 的展开式中 x2 的系数为(
• 探究2：已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋ a7x7.
• 求：(1)a1＋a2＋…＋a7； • (2)a1＋a3＋a5＋a7； • (3)a0＋a2＋a4＋a6；
• 分析：因为求的是展开式的系数和，所以可用 赋值法求解．
解析：令 x＝1，则 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1① 令 x＝－1，则 a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37② (1)∵a0＝C70＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2. (2)(①－②)÷2，得 a1＋a3＋a5＋a7＝－12－37＝－1094. (3)(①＋②)÷2，得 a0＋a2＋a4＋a6＝－12＋37＝1093.
【典例 2】 已知( 3 x＋x2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x
－1)n 的展开式的二项式系数和大 992，求2x－1x2n 的展开式中． (1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项．
• [解析] 根据二项式系数的性质，列方程求解n. 系数绝对值最大问题需要列不等式组求解．
• 由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31) ＝0，
当 r＝3 时，276－r＝4，T4＝(－1)3·C93·x4＝－84x4； 当 r＝9 时，276－r＝3，T10＝(－1)9·C99·x3＝－x3.
∴( x－3 x)9 的展开式中的有理项是：第 4 项－84x4；第 10 项－x3.
• [点评] 要熟练掌握二项展开式及通项公式的应 用．
探究 1：求1＋x＋x1210 的展开式中的常数项．
• 二项展开式中的Cnr(r＝0,1,2，…，n)叫做二项 式系数，要分清展开式中某一项的系数与该项 的二项式系数．
2．二项式系数的性质 (1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个 二项式系数相等，即 Cn0＝Cnn，Cn1＝Cnn－1，Cn2＝Cnn－2，…，Cnr ＝Cnn－r. (2)增减性与最大值：二项式系数 Cnk，当 k<n＋2 1时，二项式 系数是递增的；当 k>n＋2 1时，二项式系数是递减的．
• ∵992＝(10－1)92
• ＝1092－C921·1091＋C922·1090－…＋C9290102 －C9291·10＋(－1)92
• ＝1092－C921·1091＋C922·1090－…＋C9290·102 －920＋1
• ＝ (1092 － C921·1091 ＋ C922·1090 － … ＋ C9290·102－1000)＋81
)
A．10
B．5
5 C.2
D．1
解析：1＋x25 的展开式通项为 Tr＋1＝C5r2xr， 则 r＝2，∴x2 的系数为 C52122＝52.
• 答案：C
2．(2010·江西)(2－ x)8 展开式中不含 x4 项的系数的和为
()
A．－1
B．0
C．1
D．2
• 解析：由通项公式可得展开式中含x4的项为T8＋ 1＝C88x4＝x4，故含x4项的系数为1，令x＝1， 得展开式的系数和S＝1，故展开式中不含x4项 的系数的和为1－1＝0.
• ∴2n＝32，解得n＝5.
(1)由二项式系数的性质知，2x－1x10 的展开式中第 6 项的二 项式系数最大．
即 C105＝252. (2)设第 r＋1 项的系数的绝对值最大，则 TTrr＋＋11≥≥TTrr，＋2. ∵Tr＋1＝C10r·(2x)10－r·－1xr
＝(－1)rC10r·210－r·x10－2r，
点评：本题采用的是“赋值法”，它普遍适用于恒等式，是 一种重要的方法，在解有关问题时，经常要用到这种方法．
对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开 式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可；对(ax＋by)n(a， b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可．
• 故＋C原10三2C项84展＋开C1式03·中C常76＝数4项35为1.C100C100＋C101C92 • 点评：(1)求展开式中的特定项，主要用展开的
通项公式，使字母的项数具备所要求的特征．
• (2)对于三项展开式，要合理分组或者因式分解， 转化为二项式的形式．
类型二 二项式系数的性质 解题准备：1.求二项式系数最大的项： 如果 n 是偶数，则中间一项(第n2＋1项)的二项式系数最大； 如果 n 是奇数，则中间两项(第n＋2 1项与第n＋2 1＋1项)的二 项式系数相等且最大； 2．求展开式系数最大的项：如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式 中系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开式各项系数分
• 二项式定理及其应用
• 回归课本
• 1.二项式定理
• 对于n∈N*，(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b＋…＋ Cnran－rbr＋…＋Cnn－1abn－1＋Cnnbn，这个公式 所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式 叫做(a＋b)n的二项展开式，二项展开式的通项 公式为Tr＋1＝Cnran－rbr.