在一般的速度、温差范围内，若无化 学反应热,上述假设均基本符合工程实际。
第五章 5.2节(10)
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5.2.1 连续性方程
• 根据质量守恒关系，不存在内部质量源 时，流入与流出控制体积的质量流量的 差值一定等于控制体积内的质量随时间 的变化率。 u v 0 x y
第五章 5.2节(10)
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5.2.2 动量微分方程
t 共4个未知变量。
但由于方程强烈的非线性性质,在整个流 场中求得它的分析解极其困难。
普朗特（Ludwig. Prandtl, 1875－1953） 提出了边界层理论。使粘性流体流动与 换热的数学求解得到了根本的改观。
第五章 5.2节(10)
下一节
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(2) 反映流体中的对流机制与扩散机制之间 的一种内在守恒关系。
(3) 假如流体中含内热源，应在方程右侧增 加源项，其它无需改动。
(4) 若需要考虑流体物性随温度的变化，必 须补充相关物性随温度变化的具体方程式。
第五章 5.2节(10)
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式(5-2-1)～(5-2-4) 构成控制方程组
4个方程，理论上可求解流体的u、v、p、
dcond
dconv
dW
dE
d
第五章 5.2节(10)
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导热方式进入：
d co nd
2t x 2
2t y 2
dxdy
从 x 方向进入与流出的净差额：
cp
ut dxdy
x
从 y 方向进入与流出的净差额：
cp
vt
y
dxdy
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第五章 5.2节(10)
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外力（体积力和表面力）对微元流体作功： （1）流体的动能变化率(略)； （2）微元体发生变形时压力p 作的功(等于零)； （3）粘性力对流体所作的功(耗散项) ，在低流速下一 般可以忽略不计。
• 对于流体中的任意微元控制体积，作用 在该体积上的所有外力总和必定等于控 制体积中流体的动量变化率。
u
u
u x
v
u y
Fx
p x
2 x
u
2
2u y 2
v
u
v x
v
v y
Fy
p y
2 x
v
2
2v y 2
第五章 5.2节(10)
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5.2.3 能量微分方程
描述流体发生对流换热时的温度场。 单位时间内流体因热对流和通过控制体边 界面净导入的热量总和，加上单位时间 内界面上作用的各种力对流体所作的功， 等于控制体积内流体总能量（不计动能 和位能）的时间变化率。
微元体总能量的时间变化率：
cp
t
dxdy
第五章 5.2节(10)
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把以上各式带入总的能量平衡关系中：
c
p
t
u
t x
v
t y
2t x2
2t y 2
d
在稳态，略耗散项，物性为常数条件下:
u
t x
v
t y
a
2t x2
2t y 2
第五章 5.2节(10)
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基本结论：
(1) 右侧为导热项，形式和导热微分方程相 同。左侧是对流项，反映流体运动和掺混对 换热的作用。若流体速度为零，退化成导热 微分方程。
5.2 对流换热微分方程组
为了: • 理解对流传递过程中各主要物理量之间
的关系 • 边界条件在其中的作用 • 说明对流换热问题理论解的基本思路
需要给出对流换热过程完整的数学描述
第五章 5.2节(10)
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建立对流换热数学模型的基本假设:
（1）连续介质； （2）低速二维定常流动； （3）仅针对牛顿型流体； （4）常物性； （5）没有内热源。