椭圆最值问题常考题型分析
在遇到椭圆中线段或三角形周长最值问题时用函数思想有时很复杂，解题时常利用椭圆上点的性质（122MF MF a +=）及三角形三边关系.
◆典例剖析
例1、已知点)3,2(-P ，2F 为椭圆116
252
2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求2MF MP +的最大值和最小
值。

解：设椭圆左焦点为1F ，∴︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+a 2-︱MF 1︱， 连接PF 1，延长PF 1交椭圆于点M 1，延长F 1P 交椭圆于点M 2由三角形三边关系知–︱PF 1︱≤︱MP ︱-︱MF 1︱≤︱PF 1︱当且仅当M 与M 1重合时取右等号、M 与M 2重合时取左等号。

∵a 2=10, ︱PF 1︱=2所以（︱MP ︱+︱MF 2︱）max =12, （︱MP ︱+︱MF 2︱）min =8 结论：设椭圆122
22=+b
y a x 的左右焦点分别为F 1、F 2， P(x 0，y 0)为椭圆内一点，M(x ，y)为椭圆上任意一点，则 ︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为a 2+︱PF 1︱，最小值为a 2–︱PF 1︱。

例2、已知点P(-2,6），F 2为椭圆116
252
2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值和最小值。

解：由题可知点P 在椭圆外，PF 2交椭圆于M ，此点使︱MP ︱+︱MF 2︱值最小（求最大值方法同例1）。

︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+a 2-︱MF 1︱连接PF 1并延长交椭圆于点M 1，
则M 在M 1处时︱MP ︱-︱MF 1︱取最大值︱PF 1︱。

∴︱MP ︱+︱MF 2︱最大值是10+37，最小值是41。

结论：设椭圆122
22=+b
y a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则 ︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为a 2+︱PF 1︱，最小值为PF 2。

◆针对训练
练1、已知1F 是椭圆15
92
2=+y x 的左焦点，P 是椭圆上的动点，点)1,1(A ，则1PF PA +的最小值是
练2、椭圆13
42
2=+y x 的左焦点为F ，直线m x =与椭圆交于A ，B 两点，求FAB ∆周长的最大值.。