x x
Iz Iy
tan
12 1
从式(12-1’)可看出，只要 Iz I y ，则 ，即荷载作
用平面与中性轴不垂直，这是斜弯曲与平面弯曲的区别之一。
对于圆截面，正方形截面及正多边形，形心主惯性矩Iz=Iy， 此时 ，说明是平面弯曲，荷载作用面与中性轴垂直。
b. 强度条件
max
材料力学
组合变形时杆件的强度计算
解组合变形的一般步骤（见框图）
一、斜弯曲
（一）平面弯曲与斜弯曲的区分
平面弯曲： ① 外力作用平面必须通过截面的弯曲中心（S）。 ② 外力作用平面必须通过或平行截面的任一主形心惯性平面。
斜弯曲： ① 外力作用平面必须通过截面的弯曲中心（S）。 ② 外力作用平面不通过也不平行截面的任一主形心惯性平面。 ③ 外力作用平面与中性轴不垂直。
max
min
N A
My Wy
Mz Wz
12 5
例2 构件受偏心压力如图示，已知P=100KN, a=0.2m, b=0.4m, ey=0.05m, ez=0.2m, 5MPa, 10MPa ，试确定中性 轴位置并校核构件的强度。
解（一）外力简化（见图）
P 100KN
ba
b2 12
0.0133m 2
ay
iz2 ey
0.0667m
az
i
2 y
ez
0.0665m
中性轴见图示位置
（四）校核危险点的强度
由于各横截面上的内
力相同，可取底截面来计 算。中性轴位置确定后， 离中性轴最远的点就是危 险点。图中A点为拉应力 最大，B点为压应力最大。
max
A
N A
My Wy
二、拉（压）与弯曲、偏心压缩（拉伸）
（一）拉伸（压缩）与弯曲的组合
最大正应力和最小正应力发生在弯矩最大的横截面上离中 性轴最远的点（由于是单向应力状态）建立的强度条件为：
max
min
N A
Mmax Wz
12 3
（二）偏心压缩（拉伸）
a. 中性轴的位置
ay
az
iz2 ey
点为最大拉应力和最大压应力点，即为危险点。
应力分布图
（四）计算中性轴位置及最大正应力
AB段中性轴与z轴的夹角为：（坐标原点可设在C截面处）
tan
Iz Iy
My x Mz x
Iz Iy
P2
x 0.5
P1 x
0.5m
x
1m
从上式可看出，中性轴位置在AB段内是随x的变化而变化 的。在A截面处（x=1m），中性轴位置为：
i
2 y
ez
12
4
式(12-4)中ay, az为中性轴在直角坐标轴上的截距（图12-3）； ey, ez为偏心力P的作用点的位置（图中E点），iy, iz为惯性半径， 其计算式为：
i
y
Iy A
iz
Iz A
b. 正应力强度条件 最大正应力和最小正应力发生在离中性轴最远的点，危
险点的应力状态是单向应力状态，建立的强度条件为：
的弯形为两个平面弯曲 的组合——斜弯曲。受 力简图如图示。
受力简图
（二）内力分析
受力简图
分别绘出Mz(x) 和My(x)图如图示。 两个平面内的最大
弯矩都发生在固定 端A截面上，A截面 为危险截面。
Mz 1KN m
M
y
1KN
m
（三）应力分析和最大应力 绘出A截面的应力分布图，从应力分布图可看出a、b两
m y Pez 20KN m
mz
Pe y
5KN
m
例2图
（二）内力计算
任意横截面上的内力为：
N P 100KN 压
M y my 20KN m
M
z
mz
5KN
m
例2图
（三）中性轴位置
iz2
Iz A
1 ba3 12
ba
a2 12
0.00333m 2
i
2 y
Iy A
1 ab3 12
合成后总变矩为：
M
M
2 z
M
2 y
1.41KN
m
max
min
c
d
M W
115MPa
A截面应力分布图
a b
容易出现的一种计算错误：
max
Mz Wz
My Wy
163MPa
A截面应力分布图
的应力此时M式y 中WMMyyz引在起图的中应b点力，显M然z 不WM能zz 将在不图同中点a点处；的M应y引力起进 行相加，作为该截面上的最大正应力。
A截面中性轴确定后可绘出总应力分布图（见图）。
最大和最小正应力为：
max
min
a
b
Mz Wz
My Wy
70.2MPa
（五）改为圆截面时的计算
矩形截面改为圆截面后，受力图不变，内力图也不变。
此时对于圆截面来说，不存在斜弯曲问题，两个平面弯曲合 成后，还是一个平面弯曲的问题。危险截面A截面上弯矩的 合成由矢量来表示（见图）。总弯矩的矢量方向与中性轴重 合，说明总弯矩是绕中性轴弯曲（荷载作用平面与中性轴垂 直）离中性轴最远的两点（c,d）是正应力最大和最小的点。
M z max Wz
M y max Wy
12 2
例1 矩形截面的悬臂梁受荷载如图示。试确定危险截面、危 险点所在位置；计算梁内最大正应力及AB段的中性轴位 置；若将截面改为直径 D=50mm 的圆形，试确定危险点 的位置，并计算最大正应力。
例1图
解（一）外力分析 例1图
梁在P1作用下绕z轴 弯曲（平面弯曲），在 P2作用下绕y轴弯曲 （平面弯曲），故此梁
（二）斜弯曲时的强度条件 a. 中性轴与z轴的夹角
tan Iz M y 12 1
Iy Mz
以图12-2为例，此时中性轴位置的表达式为：
图12-2
tan
Iz Iy
P sin l P cos l
x x
Iz Iy
tan
12 1
tan
Iz Iy
P sin l P cos l
40 803
tan
Iz Iy
P2 0.5 P1 1
12 80 403
1 103 1103
4
12
应力分布图
40 803
tan
Iz Iy
P2 0.5 P1 1
12 80 403
1 1
103 103
4
12
解得： 76（o 见图）
应力分布图
如以合成后的总
弯矩以矢量表示，中 性轴与M的矢量不重 合，说明荷载作用平 面与中性轴不垂直， 这是斜弯a
min
B
N A
My Wy
Mz Wz
6.87 MPa
最后得出结论，构件强度满足
三、弯曲与扭转的组合
工程中有些杆件受弯曲和扭转的联合作用，对于一些圆截 面杆件，在弯和扭共同作用下危险点的应力状态都为图12-4所 示的单元体。