高三数学一轮复习必备系列精品（2020-2021届）第三章立体几何初步1．理解平面的基本性质，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图、能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能根据图形想象它们的位置关系．2．了解空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系．3．掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握三垂线定理及其逆定理．4．掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念；掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理．5．了解多面体、凸多面体、正多面体的概念．6．了解棱柱，棱锥的概念；了解棱柱，棱锥的性质；会画其直观图．7．了解球的概念；掌握球的性质；掌握球的表面积、体积公式．本章的定义、定理、性质多，为了易于掌握，可把主要知识系统化．首先，归纳总结，理线串点，可分为四块：A 、平面的三个基本性质，四种确定平面的条件；B 、两个特殊的位置关系，即线线，线面，面面的平行与垂直．C 、三个所成角；即线线、线面、面面所成角；D 、四个距离，即两点距、两线距、线面距、面面距． 其次，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心中的核心，线面角、二面角、距离等均与线面垂直密切相关，把握其中的线面垂直，也就找到了解题的钥匙． 再次，要加强数学思想方法的学习，立体几何中蕴涵着丰富的思想方法，化空间图形为平面图形解决，化几何问题为坐标化解决，自觉地学习和运用数学思想方法去解题，常能收到事半功倍的效果． 第1课时 平面的基本性质公理1 如果一条直线上的 在同一个平面内，那么这条直线上的 都在这个直线、平面、简单几何体三个公理、三个推论 平面 平行直异面直相交直公理4及等角定理 异面直线所成的角 异面直线间的距离 直线在平面内 直线与平面平直线与平面相空间两条直概念、判定与性质 三垂线定理 垂斜直线与平面所成的角空间直线 与平面空间两个平面棱柱 棱锥 球两个平面平行两个平面相交 距离两个平面平行的判定与性质 两个平面垂直的判定与性质二面角定义及有关概念性质 综合应用多面体面积公式 体积公式 正多面体R PQαC BA 平面内 (证明直线在平面内的依据)．公理2 如果两个平面有 个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是 (证明多点共线的依据)．公理3 经过不在 的三点，有且只有一个平面(确定平面的依据)． 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面． 推论2 经过两条 直线，有且只有一个平面． 推论3 经过两条 直线，有且只有一个平面．例1．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于O ，AC 、BD 交于点M． 求证：点C 1、O 、M 共线． 证明：A 1A∥CC 1⇒确定平面A 1C A 1C ⊂面A 1C ⇒O∈面A 1C ⇒O∈A 1C面BC 1D∩直线A 1C ＝O ⇒O∈面BC 1D O 在面A 1C 与平面BC 1D 的交线C 1M 上 ∴C 1、O 、M 共线变式训练1：已知空间四点A 、B 、C 、D 不在同一平面内，求证：直线AB 和CD 既不相交也不平行． 提示：反证法．例2. 已知直线l 与三条平行线a 、b 、c 都相交．求证：l 与a 、b 、c 共面． 证明：设a ∩l ＝A b ∩l ＝B c ∩l ＝C a ∥b ⇒ a 、b 确定平面α ⇒l ⊂β A∈a , B∈bb ∥c ⇒b 、c 确定平面β 同理可证l ⊂β所以α、β均过相交直线b 、l ⇒ α、β重合⇒ c ⊂α ⇒a 、b 、c 、l 共面 变式训练2：如图，△ABC 在平面α外，它的三条边所在的直线AB 、BC 、CA 分别交平面α于P 、Q 、R 点．求证：P 、Q 、R 共线．证明：设平面ABC∩α＝l ，由于P ＝AB∩α，即P ＝平面ABC∩α＝l ，CA BA即点P 在直线l 上．同理可证点Q 、R 在直线l 上． ∴P、Q 、R 共线，共线于直线l ．例3. 若△ABC 所在的平面和△A 1B 1C 1所在平面相交，并且直线AA 1、BB 1、CC 1相交于一点O ，求证： (1) AB 和A 1B 1、BC 和B 1C 1分别在同一个平面内； (2) 如果AB 和A 1B 1，BC 和B 1C 1分别相交，那么交点在同一条直线上．证明：(1) ∵AA 1∩BB 1＝0，∴AA 1与BB 1确定平面α，又∵A∈a ，B∈α，A 1∈α，B 1∈α，∴AB ⊂α，A 1B 1⊂α，∴AB、A 1B 1在同一个平面内 同理BC 、B 1C 1、AC 、A 1C 1分别在同一个平面内(2) 设AB∩A 1B 1＝X ，BC∩B 1C 1＝Y ，AC∩A 1C 1＝Z ，则只需证明X 、Y 、Z 三点都是平面A 1B 1C 1与ABC 的公共点即可．变式训练3：如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 中点，F 为AA 1中点， 求证：(1) E 、C ．D 1、F 四点共面； (2) CE 、D 1F 、DA 三线共点．证明(1) 连结A 1B 则EF∥A 1B A 1B∥D 1C ∴EF∥D 1C ∴E、F 、D 1、C 四点共面 (2) 面D 1A∩面CA ＝DA ∴EF∥D 1C 且EF ＝21D 1C∴D 1F 与CE 相交 又D 1F ⊂面D 1A ，CE ⊂面AC ∴D 1F 与CE 的交点必在DA 上 ∴CE、D 1F 、DA 三线共点．例4.求证：两两相交且不通过同一点的四条直线必在同一平面内．证明：(1) 若a 、b 、c 三线共点P ，但点p ∉d ，由d 和其外一点可确定一个平面α 又a∩d＝A ∴点A∈α ∴直线a ⊂α 同理可证：b 、c ⊂α ∴a 、b 、c 、d 共面 (2)若a 、b 、c 、d 两两相交但不过同一点 ∵a ∩b ＝Q ∴a 与b 可确定一个平面βO CBAAB CABECDFA 1B 1C 1D 1又c ∩b ＝E ∴E∈β 同理c ∩a ＝F ∴F∈β∴直线c 上有两点Ｅ、Ｆ在β上 ∴c ⊂β 同理可证：d ⊂β 故a 、b 、c 、d 共面由(1) (2)知：两两相交而不过同一点的四条直线必共面变式训练4：分别和两条异面直线AB 、CD 同时相交的两条直线AC 、BD 一定是异面直线，为什么?解：假设AC 、BD 不异面，则它们都在某个平面α内，则A 、B 、C 、D ∈α.由公理1知AC α⊂≠,BD α⊂≠.这与已知AB 与CD 异面矛盾，所以假设不成立,即AC 、BD 一定是异面直线。

1．证明若干点共线问题，只需证明这些点同在两个相交平面．2．证明点、线共面问题有两种基本方法：①先假定部分点、线确定一个平面，再证余下的点、线在此平面内；②分别用部分点、线确定两个(或多个)平面，再证这些平面重合．3．证明多线共点，只需证明其中两线相交，再证其余的直线也过交点． 第2课时 空间直线1．空间两条直线的位置关系为 、 、 ． 2．相交直线 一个公共点，平行直线 没有公共点， 异面直线：不同在任 平面，没有公共点．3．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 ．4．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两角 ． 5．异面直线的判定定理过平面外一点与平面内一点的直线和平面内 的直线是异面直线(作用：判定两条直线是异面直线)6．异面直线的距离：和两条异面直线 的直线称为异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线在 的长度，叫两异面直线的距离．例1. 如图，在空间四边形ABCD 中，AD ＝AC ＝BC ＝BD ＝a ，AB ＝CD ＝b ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点．(1) 求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2) 求AB 和CD 间的距离． 证明：(1) 连结CE 、DE⇒⎪⎭⎪⎬⎫===BE AE BD AD BC AC ⎭⎬⎫⊥⊥DE AB CE AB ⇒AB⊥面CDE∴AB⊥EF 同理CD⊥EF ∴EF 是AB 和CD 的公垂线 (2) △ECD 中，EC ＝422b a -＝ED∴EF＝222b a -变式训练1：在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。

在△EFG 中 EF ＝3FG ＝EG ＝1∴∠EGF＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。

例2. S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ， 且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角．证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN 则QN∥SM ∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角 连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝a 25 NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a 414∴COS∠QNB＝5102222=⋅-+NQ BN BQ NQ BN∴∠QNB＝arc cos 510变式训练2：正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC 和AB 的中点． (1) 求异面直线SC 和AB 的距离；AEBCF DM NCS(2) 求异面直线SA 和EF 所成角． 答案：(1)a 22 (2) 45°例3. 如图，棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别为A 1B 1、BB 1、CC 1的中点．(1) 求异面直线D 1P 与AM ，CN 与AM 所成角；(2) 判断D 1P 与AM 是否为异面直线？若是，求其距离． 解：(1) D 1P 与AM 成90°的角 CN 与AM 所成角为arc cos 52.(2) 是．NP 是其公垂线段, D 1P 与AN 的距离为1. 变式训练3：如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， ∠BCA＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点， 若BC ＝CA ＝CC 1，求NM 与AN 所成的角．解：连接MN ，作NG∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 就是BM 与AN 所成的角． 设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝B 1M ＝6，cos∠GNA＝1030562556=⨯⨯-+。

例4．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA⊥底 面ABCD ，AE⊥PD，EF∥CD，AM ＝EF ． (1) 证明MF 是异面直线AB 与PC 的公垂线；(2) 若PA ＝3AB ，求直线AC 与平面EAM 所成角的正弦值． （1）证明：∵EF∥CD AM∥CD∴ AM∥EF，又AM ＝EF ∴ AMFE 为平行四边形 ∵ AB⊥PA，AB⊥AD ∴ AB⊥面PAD ∴ AB⊥AE，又AE∥MF，∴ AB⊥MF 又∵AE⊥PD CD⊥AE ∴ AE⊥面PCDACBNM AC BPC 1D 1M B 1 A 1D NC BACDBEFA MPAA 1∴ AE⊥PC ∴ MF⊥PC ∴ MF 为AB 与PC 的公垂线．(2) 设AB ＝1，则PA ＝3，建立如图所示坐标系．由已知得＝(0，109，103)，＝(1，0，0)面MFEA 的法向量为k ＝(0，1，－3)，AC ＝(1，1，0)，cos<AC ，k >＝105．∴ AC 与面EAM 所成的角为2π－arc cos105，其正弦值为105．变式训练4：如图，在正方体1111D C B A ABCD -中， E 、F 分别是1BB 、CD 的中点． （１）证明F D AD 1⊥； （２）求AE 与F D 1所成的角。