1(x) 0 1
1(x) 0 0
1( x) 0 0
1( x) 0 1
9/18
两点Hermite插值的误差估计式
R( x)
f (x) H3(x)
f
(4) (
4!
)
[(
x
x0
)(
x
x1
)]2
证明: 由插值条件知
R(x0)=R’(x0)=0, R(x1)=R’(x1)=0
取 x 异于 x0 和 x1, 设
max
a xb
|
n1
(
x)
|
min
结论: 切比雪夫多项式Tn+1(x)的全部零点。
2/18
f(x)∈C[–1, 1], 令 x = cos , 则有 [–1, 1] [0, ]
将g( ) = f(cos )展开成余弦级数
g(
)
1 2
a0
n1
an
cos
n
n+1阶切比雪夫多项式: Tn+1=cos(n+1)
F (t ) f (t ) H (t ) C( x)(t x0 )2 (t x1 )2
F (4) ( ) f (4) ( ) C( x)(4!) 0
f (4) ( )
C(x)
4!
R( x) C( x)( x x0 )2 ( x x1 )2
f
(4) (
4!
)
[(
x
x0
)(
x
x1 )]2
x1
y1
m1
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例2. 已知插值条件:
x
0
1
求3次插值函数.
H(x)
0
1
H’(x)
0
0
解:设 H ( x) a0 a1x a2 x2 a3 x3
得 a0=0, a1=0, 列出方程组 求解, 得
a2a2 2a33 a31 0
a2 = 3 , a3 = – 2 1 0.8
所以,有
0.6
0.4
cos = x 代入得 Tn+1( x ) = cos((n+1) arccos x )
取 (n 1)arccos x (2k 1) ( k=0,1,···,n )
2
即
xk
cos((2k 1)
2(n 1)
)
——切比雪夫结点
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例1. 函数
1
f ( x) 1 x2 x∈[-5, 5]
(2k 1)
xk 5cos( 22 )
( k=10, 9, 8, ···, 1, 0 )
-4.9491 -4.5482 -3.7787 -2.7032 -1.4087 0.0000 1.4087
2.7032 3.7787 4.5482 4.9491
11(x)=(x – x0)(x – x1)(x – x2)······(x – x10)
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分段三次Hermite插值
取 a≤x0<x1<······<xn≤b,已知函数值和导数值 yj=f (xj), mj = f ’(xj) ( j= 0,1,2,···,n)
当 x∈[xj，xj+1]时, 两点Hermite插值
Hh(x)
(1
2
x xj x j1 x j
)(
x j1 x x j1 x j
11(x)
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插值函数L10(x)取 切比雪夫结点插值
插值函数L10(x)取 等距结点插值
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
2-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
1.5
1
0.5
0
-0.5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4 65/18
三次Hermite插值问题
已知节点x0和x1处的函数值及导数值
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分段线性插值
插值节点满足: x0<x1<······<xn 已知 yj=f (xj) ( j= 0,1,2,···,n)
x∈[xj，xj+1]时, 线性插值函数
Lh( x)
x j1 x x j1 x j
yj
x xj x j1 x j
y j1
( j= 0,1,···,n-1)
······ ····
拉格朗日插值余项
取插值结点: a≤x0＜x1＜······＜xn≤b
满足Ln(xk)=f(xk)的 n 次多项式插值余项
Rn ( x)
f ( x) Ln ( x)
f (n1) (n
( n
1)!
)
n1
(
x
)
其中, n1( x) ( x x0 )( x x1 ) ( x xn )
选取: x0, x1 ,······, xn , 使
2
x x1
x0 x0
)(
x1 x1
x x0
)2
0
(
x)
(
x
x0
)(
x1 x1
x x0
)2 .
1(
x)
(1
2
x1 x x1 x0
)(
x x1
x0 x0
)2
1(
x)
(
x
x1
)(
x x1
x0 x0
)2
x
x0 x1
x x0 x1
0(x) 1 0 0 ( x) 0 0
0(x) 0 0 0( x) 1 00.2Biblioteka H(x) = 3x2– 2x3
0
= (3 – 2x)x2
-0.2
-0.4
-0.6 -0.4
-0.2
0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
1.2 1.4 1.6
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利用基函数表示Hermite插值
H ( x) y00 ( x) y11( x) m00 ( x) m11( x)
0(
x)
(1
R( x) C( x)( x x0 )2 ( x x1 )2
利用 f(x) – H(x)=C(x)(x – x0)2(x – x1)2
构造辅助函数
F (t ) f (t ) H (t ) C( x)(t x0 )2 (t x1 )2
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显然,F(t)有三个零点x0, x, x1,由Roll定理知,存 在F’(t)的两个零点t0,t1满足x0<t0<t1<x1,而x0和 x1也是F’(x)的零点,故F’(x)有四个相异零点. 反复应用Roll定理,得F(4)(t)有一个零点设为ξ
f ( x0 ) y0 f ( x1 ) y1 f ( x0 ) m0 f ( x1 ) m1 求三次插值函数
H(x)= a0 + a1x + a2x2 + a3x3 满足插值条件 H ( x j ) y j H ( x j ) m j (j = 0,1)
x
x0
H(x)
y0
H’(x)
m0
)2
yj
(1
2
x j1 x x j1 x j
)(
x xj x j1 x j
取等距插值结点: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5
f ( x) L10 ( x)
f
(11) ( n
11 !
)
11 (
x)
11(x)=(x+5)(x+4)(x+3)(x+2)(x+1)x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)
11(x)
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在[-5, 5]区间上,取11个切比雪夫结点