有限单元法
如图1.1所示，可以将杆系结构分成6 个单元，这样划分以后，共有6个结点。 如图1.2所示，纵向均匀受拉的带圆孔 的薄板， 根据对称性，取其中一部分分析，将其 划分为三角形单元。
y
5 ④ 3 1 ①
⑥
③
6 ⑤ 4 ② 2
图
图1.1
1.1
y
x
x
图1.2 有限单元法
2、 确定单元的位移模式 将单元中任意一点的位移近似地表示成单元结点位移的函 数，即位移模式或位移函数，用 d 或 d 表示，写成：
用矩阵表示为： u Niui N j u j N i N j ui Nδ ⓔ u j 其中
Ni 1 x l Nj x l
（2-2）
有限单元法
② 进行应力、应变分析。根据材料力学中应变的定义，
有：

du dN ⓔ 1 1 ⓔ δ δ Bi dx dx l l B j δ ⓔ Bδ ⓔ
有限单元法
2.2.2 扭转杆单元
i M i
i m (x) j
M j
j
x
y
图2.4 扭转杆单元示意图
设扭转杆单元的长度为 l ，截面惯性矩为 ，剪切模量 G 为I ，杆端扭矩分别为 M 、 j ，杆端扭转角分别为 、 ， M 单元上的分布荷载集度为m( x) ，则任意截面的扭转角为：
ⓔ T ⓔ 0
l

T
ⓔT

l
0
BT EABdx δ ⓔ
（2-6）
式中 Fd Fi
ⓔ
F j ：为局部坐标系下单元结点荷载矩阵。设：
T
FE q( x) N T dx
ⓔ 0
l
（2-7）
k BT EABdx
ⓔ 0
l
（2-8）
则可以得到拉压杆单元的单元刚度方程为：
（2-9）
我们利用极小势能原理来进行单元分析，杆单元的势能 用泛函表示为：
p
l 1 l d (M T )dx m( x) dx Fd ⓔT δ ⓔ 0 2 0 dx l l 1 δ ⓔT BT GIBdxδ ⓔ ( m( x) Ndx Fd ⓔT )δ ⓔ 0 0 2
有限单元法
① 单元位移模式。用结点位移表示单元上任意截面的 位移。对拉压杆单元，可以取其位移为一次多项式，即：
u( x) a bx
（2-1）
由位移的边界条件： u (0) ui
b 可得系数 a 、 为：
a ui
u (l ) u j
b
u j ui l
x x u ( x) (1 )ui u j 这样，任意截面的位移 u为： l l
d N δ
e
这里： —单元中任意一点的位移矩阵， d
N —形函数矩阵 e δ —单元结点位移矩阵。
位移函数的假设合理与否，直接影响到分析的计算精度、 效率、可靠性。
有限单元法
3、单元特性分析
（1）几何方程：应变与位移之间的关系
ε Bδe
这里：ε —单元中任意一点的应变矩阵，
B —变形矩阵或应变矩阵，
有限单元法
（2）程序设计 低级语言：机器语言、汇编语言等 高 级 语 言 ： BASIC ， C ， C++ ， FORTRAN ， JAVA ， LISP ， Matlab，Mathmatic等 目前所有有限元软件都是用FORTRAN语言编写的。程序设 计步骤： （1）提出问题，拟定解决方案； （2）构造数学模型； （3）画出程序流程图； （4）用选定的算法语言编写程序； （5）编译调试程序； （6）试验验证程序； （7）打包发行； （8）软件维护。 有限单元法
T
k B GIBdx
FE m( x) N T dx
ⓔ 0
l
可得扭转杆单元的单元刚度方程为：
Fd ⓔ FE ⓔ k ⓔδ ⓔ
可以看到，其形式与拉压杆单元的单元刚度方程完全一致。同 样，由上式可以进一步求得其局部坐标系下得单元刚度矩阵为 ：
k
ⓔ
GI l
1 1 1 1
Fd ⓔ FE ⓔ k ⓔδ ⓔ 这里 为局部坐标系下的单元刚度矩阵， 为局部坐标系下等 FE ⓔ kⓔ 效结点荷载矩阵，但值得指出的是：分布荷载 中可以包含 q( x) 集中荷载。根据定义，可以进一步求得单元刚度矩阵为：
k
ⓔ
EA 1 1 l 1 1
（2-10）
dx
可以得到式中的待定系数：
a vi b v j 1 2 3 1 c 2 vi 2 i 2 v j j l l l l 2 1 2 1 d 3 vi 2 i 3 v j 2 j l l l l
有限单元法
将系数a、b、c、d代入式，并将挠曲线方程用矩阵形式 表示为： 0 0 0 1
第2章 杆系结构的 有限元分析
有限单元法
2.1 概述
所谓杆件是指从构造上来说其长度远大于其截面尺寸的 一维构件。在结构力学上我们通常将承受轴力或扭矩的杆件 称为杆，而将承受横向力和弯矩的杆件称为梁。在有限单元 法中这两种情况的单元分别称为杆单元和梁单元。为方便起 见，本书都称之为杆单元。 杆系结构是最简单的一类结构，也是我们在工程上最常 见的一类结构。本章以此类结构为基础介绍有限单元法的分 析过程。
v 1 x x2 0 x3 3 2 l 2 l3 1 2 l 1 l2 0 3 l2 2 3 l 0 vi 1 i v l j 1 j 2 l
Nδ ⓔ
(2 3 4 )
1
1
2
1
(0 0 0 )
2 (0 0 1 )
2 (4 5 6 ) 1 (1 2 3 )
前处理法 图2.3 单元位移编码
后处理法
有限单元法
2.2 局部坐标系中的杆单元分析
2.2.1 拉压杆单元
u i F i
i q (x) j
F j
u j x
y
图2.4 拉压杆单元示意图
设杆单元长度为 l ，横截面面积为 A ，单元材料的弹性 模量为 E ，在局部坐标系中杆端荷载分别为 Fi 和 F j ，杆端位 移分别为 ui 和 u j ，单元上的轴向分布荷载为 q( x)。
式中 N N1
N2
N3
N4
为形函数矩阵，其中：
3x 2 2 x3 N1 1 2 3 l l 2 x x2 N 2 x (1 l l 2 ) 2 3 N 3x 2 x 3 l2 l3 2 3 N x x 4 l l2
x x (1 )i j Nδ ⓔ l l
i
i
j
有限单元法
式中：δ ⓔ i j
为局部坐标系下扭转杆单元的结点位移矩阵。 由材料力学可知，截面扭矩为：
M GI d GIBδ ⓔ dx
T
式中：
B
dN 1 1 dx l l
（2-3）
这里
1 1 B l l
为应变矩阵。由虎克定律，其应力为：
E EBδ ⓔ
（2-4）
有限单元法
③ 求单元刚度矩阵。这里考虑利用虚位移原理求单元刚 度矩阵，设杆端i、j分别产生虚位移 ui 、 u j ，则由此引起的杆 轴任意截面的虚位移为：
u N ui ui N δ ⓔ
为平面弯曲单元的形函数。
有限单元法
根据式（2-19）确定的单元位移场，可得单元上某一点得 曲率为： d 2v d 2 N

截面的弯矩为： 这里：
dx
2

dx
2
δ ⓔ Bδ ⓔ
M EI EIBδ ⓔ δ ⓔT BT EI
T
对应的虚应变为：
B δ ⓔ
ⓔT ⓔ l
根据虚位移原理虚功方程，有：
W外 Fd δ q( x) N δ ⓔdx W变
0
Adx
0
l
（2-5）
δ ⓔT BT EAB δ ⓔdx
0
l
将上式整理得：

有限单元法
Fd q( x) N dx δ δ
（2）物理方程：应力与应变之间的关系（Hooke定律）
ζ DBδe Sδe
这里：ζ —单元中任意一点的应力矩阵，
D —弹性矩阵，由单元材料的弹性常数确定，(弹性模量)
S —应力矩阵。
有限单元法
（3）利用虚位移原理或最小势能原理建立单元刚度方程
k δ F F
e e e
e E
这里： —单元结点力矩阵 F
有限单元法
2.2.3 只计弯曲的杆单元
q (x)
i M i
j M j
vi F yi
i m (x)
j
vj F y j
x
y
设杆单元的长度为 l ，截面惯性矩为 I ，弹性模量为 E，杆 端剪力为 Fyi 、Fyj ，杆端弯矩分别为 M i 、 M j ，杆端横向位移 为 vi 、v j ，杆端扭转角分别为 i 、 j ，在单元上分布有荷载集 度为 q ( x) 的竖向分布荷载和集度为 m( x) 的分布力偶。则结点位 移矩阵和结点荷载矩阵分别为：
有限单元法
这里 Fd M i M j 为局部坐标系下扭转杆单元的结点荷载矩 阵。由极小势能原理，取上述泛函的变分 p 0 ，可得： 或者写为： 设：
ⓔ l 0
ⓔ
T
δ
l 0
ⓔT