周期性函数分解的傅里叶级数
周期电压、电流等都可以用一个周期函数表示，即 210),()(、、
=+=k kt t f t f 式中T 是周期函数的周期，且 210、、
=k 如果给定的周期函数在有限的区间内，只有有限个第一类间断点和有限个极大值和极小值，那么就可以展开成一个收敛的级数（三角级数） 设给定的周期函数)(t f ，则)(t f 可展开成
）
（）（1)sin cos (sin cos )2sin 2cos ()sin cos ()(1022110 ∑∞
=++=+++++++=k k k k k t k b t k a a t k b t k a t b t a t b t a a t f ωωωωωωωω 上式中的系数，可按下列公式计算：
⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
⎰
-
-
-=
======
=
π
ππ
π
ππωωπ
ωωπωωωπ
ωωπω)
(sin )(1
)
(sin )(1sin )(2)(cos )(1
)
(cos )(1cos )(2)(1
)(1
20
020
00
22
0t td k t f t td k t f tdt
k t f T b t td k t f t td k t f tdt k t f T
a dt
t f T
dt t f T a T
k T
k T
T T ）（2
这些公式的对导，主要的依据是利用三角函数的定积分的特点。
设m.n 是任意整数，则下列定积分成立：
⎰=π
200
sin mxdx
⎰
=π
20
cos mxdx
⎰=π
200cos sin nxdx mx ，
n m ≠
⎰=π
200
sin sin nxdx mx , n m ≠ ⎰
=π
200cos cos nxdx mx , n m ≠
⎰
=π
π
20
2)(sin dx mx ,
⎰
-=π
π
20
2)(cos dx mx
这种特点陈为三角函数的正交性质。
案例来说，如果要确定系数3a ，把式（1）两边各乘以t ω3cos ，并对两边取定积分，有
+++++=⎰⎰⎰⎰
⎰⎰π
π
π
π
ππ
ωωωωωωωωωωωωωωωω20
220
20
2120
20
20
10)(3cos 2sin )(3cos 2cos )(3cos sin )
(3cos cos )(3cos )(3cos )(t td t b t td t a t td t b t td t a t td a t td t f 以上式右边来看，利用三角函数定积分的公式，不难看出最后只剩下包括3a 的一项，故有：
π
ωωπ
320
)(3cos )(a t td t f =⎰
所以
⎰
=
π
ωωπ
20
3)
(3cos )(1
t td t f a
特此结束推广到k a ，有
⎰
=
π
ωωπ
20
)
(cos )(1
t td k t f a k
同理，如果用t k ωsin 去乘以式（1）的两边后再取积分，则可求得
⎰
=
π
ωωπ20
)
(sin )(1
t td k t f b k
至于0a ，可以对式（1）两边就一个周期求定积分，得
T
a dt t f 0T
)(=⎰
从而有
⎰=
T
dt t f T a 00)(1，故0a 是)(t f 在一个周期内的平均值。
2．方波的傅里叶级数展开式：
给定一个周期性信号)(t f ，其波形如图所示，对一个周期性方波（矩形波） 求此信号)(t f ，的傅里叶级数展开式
t
f(t)V m
-V m
0图1 方波
π
2πT
T
2
)(t f 的表达式是
m
v t f =)(，
20T t ≤
≤
m
v t f -=)(， T t T
≤≤2
按式（2），可求得所需要的个数,即
)(1
1)(1202000=-+==⎰⎰⎰T
m T
m T dt v T dt v T dt t f T a
0=a ，表示恒定分量为零，因为0a 代表)(t f 在一个周期内的波形
上下面积的代数平均值，因此当波形上下面积相等时，0a 即为零。
)(cos 2)(cos v )(cos 1)
(cos )(1
22020
==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==
⎰⎰⎰⎰
π
πππ
π
ωωπ
ωωωωπωωπ
t td k v t td k t td k v t td k t f a m m m k
()ππ
ωπωωπ
ωωωωπωωπ
π
π
ππππ
k k v t k k v t td k v t td k v t td k v t td k t f b m
m m
m m k cos 12cos 12)(sin 2)(sin )(sin 1)
(sin )(1
2020
-=
⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡-==⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-==⎰
⎰⎰⎰
当k 为偶数时， 1cos =πk 所以 0=k b 当k 是奇数时，1cos -=πk 所以
ππk v
k v b m m k 422=⨯=
由此求得，
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+++=
t t t v t f m ωωωπ5sin 513sin 31sin 4)(
如果取上列展开式的三项，分别画出各自的曲线再相加，就 可得到如图所示的合成曲线。
傅里叶级数是一个无穷级数，因此把一个非正弦周期函数分 解为傅里叶级数后，从理论上讲，必须取无穷多项方能准确地 代表原函数。
从实际运算来看，必须取有限的项数，因此就产
生了误差问题。
截取项数的多少，视要求而定。
这里涉及到级数收敛的快慢问题。
或者说，就是相续项数的比值大小的问题，如果级数收敛很快，只取级数前几项就够了，五次谐波一般可以略去。
而像图1所示的矩形波（方波）其收敛速度比
较慢。
例如取
2π
ω=t 或4T t =
，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-= 1119171513114)(πm v t f 当取无穷项时，将得到m
v T
f =)4(，这是准确值。
但如果取到11次谐波，算出的结
果约为0.95m v 。