第三章导数及其应用刷速度一、选择题1. 已知曲线上一点，则（）A．B．C．D．答案.2. 已知′(1),则f′(0)等于( )A. B C D 2e解:由′(1),得:f′(x)′(1),取得:f′(1)′(1),所以,f′(1)故f′(0)′(1), 因此，本题正确答案是:B.3. 如图是导函数的图象，那么函数在下面哪个区间是减函数（）。

A: B: C: D:答案详解B解析:本题主要考查函数的单调性。

当函数为减函数时，函数的导数小于零，根据图象，在区间内导函数小于零，即为减区间。

故本题正确答案为B。

4. 函数,的最大值为( )A. B. 1 C. D.答案详解C解:令得或当时,或;当时,当时;当时,;当时,所以函数的最大值为所以C选项是正确的解析:求出函数的导函数,令导数为0求出根,判断根左右两边导函数的符号,求出函数的极值及端点值,在其中选出最大值.5. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )A. 3 B 2 C 1 D答案详解A解析:函数的定义域为，函数的导数为，由，得，解得或（舍去），选A.6. 函数有极值的充要条件是A、a≥1或a≤0B、a>1或a<0C、a≥1或a<0D、0<a<1答案B解析【分析】将函数f(x)有极值转化成f′(x)有两不等的根，再利用判别式进行判定即可．【解答】函数有极值则f′(x)=ax2+2ax+1=0有两不等的根当a=0时，无解当a≠0时，Δ>0．即4a2-4a>0解得a>1或a<0，故选B．7. 若在上是减函数，则的取值范围是（）。

A: B: C: D:答案详解D解析:本题主要考查导数的应用。

由题意可知，在上恒成立，即在上恒成立，令，因为，所以。

要使，即需要小于等于其最小值，所以。

8.9.函数有三个相异的零点,则a的取值范围是( )A. B C D答案C解:函数,,,,,,, ,,函数在单调递减,单调递增,,使得函数有三个零点,必须:,计算得出.所以C选项是正确的.10. 已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为________．答案2解析切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．三个方程联立即可求出a的值．解答：设切点P（x 0，y 0），则y 0=x 0+1，y 0=ln（x 0+a），又∵切线方程y=x+1的斜率为1，即，∴x 0+a=1，∴y 0=0，x 0=-1，∴a=2．故答案为：211.12，设是定义在R上的函数,其导函数为f′(x),若′(x) , ,则不等式(其中e为自然对数的底数)的解集为( )A. B C D解:设,则g′(x)′(x)′(x),′(x),, ′(x)′(x),是R上的增函数, 又,的解集为,即不等式的解集为所以B选项是正确的.二、填空题13.、曲线在点处的切线方程是。

答案详解解析:本题主要考查导数的概念及其几何意义。

设切线方程为，因为，所以当时，，即，所以，整理得。

故本题正确答案为。

14.设与是函数的两个极值点,则常数的值为答案详解21解:,,与是函数的两个极值点,,计算得出,,.因此，本题正确答案是:21.15. 已知,若对任意两个不等的正实数,都有恒成立,则a的取值范围是答案解:;根据恒成立得:恒成立;整理成,在上恒成立;;;的取值范围是.因此，本题正确答案是:.16. 若函数，若对于都有，则实数的值为______答案详解4解析:，则。

当时，，在定义域R上单调递减，所以当时，，与题意不符，所以。

当时，，则当时，，所以在区间上单调递减，，与题意不符，所以。

此时在和上单调递增，在上单调递减，所以。

由题意可得，，解得三、解答题17、已知函数在与时都取得极值。

（1）求，的值；（2）求函数的单调区间；（3）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围。

答案详解（1）函数求导得，因为在与时都取得极值，所以，且，解得，； ......4分（2）由（1）可知，令，解得或，令，解得，故函数单调增区间为和，单调减区间为； ......8分（3）函数，，在取得极大值，取得极小值，因为，所以要使，不等式恒成立，只需恒成立，即恒成立，则实数的取值范围为或。

......12分/18、若函数,在点处的斜率为(1)求实数m的值; (2)求函数在区间上的最大值.答案解:(1),,即,计算得出; 实数m的值为1;(2)为递增函数,,,存在,使得,所以,,,19. 已知函数。

（Ⅰ）当时，求的图象在处的切线方程；（Ⅱ）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围。

答案详解（Ⅰ）当时，，，切点坐标为，切线的斜率，则切线方程为，即。

（Ⅱ），则，因为，故时，，当时，；当时，。

故在处取得极大值，又，，，则，所以在上的最小值是。

在上有两个零点的条件是解得，所以实数的取值范围是刷真题考点1 导数的概念与运算1、若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线相互垂直，则称具有性质。

下列函数中具有性质的是（）。

A: B: C: D:答案详解A解析:本题主要考查导数的概念与几何意义。

根据导数的几何意义，若具有性质，则存在、使或且处切线与轴垂直。

A项，（），，有，具有性质，故A项正确；B项，（），，切线斜率存在，不满足，不具有性质，故B项错误；C项，（），，不具有性质，故C项错误；D项，（），，，无与轴垂直的切线，不具有性质，故D项错误。

故本题正确答案为A。

2. 已知函数为的导函数，则的值为_______ ___.答案3解析【解析】试题分析：【考点】导数【名师点睛】求函数的导数的方法：（1）连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导；（2）根式形式：先化为分数指数幂，再求导；（3）复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导；（4）复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导；（5）不能直接求导：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导．3. 已知函数的图象在点处的切线过点,则a=答案详解1解:函数的导数为:,,而,切线方程为:,因为切线方程经过,所以,计算得出.因此，本题正确答案是:1.4. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则_____ 。

答案详解解析:本题主要考查导数的概念和几何意义。

曲线在点处的切线斜率应为，故曲线在点处的切线应为。

将直线与曲线联立可得，因为直线与曲线相切，即交点只有一个，故，解得或。

当时，，直线与平行，故时不符合题意。

故本题正确答案为。

考点2 导数与函数的单调性5. 若函数，在单调递增，则的取值范围是（）。

A: B: C: D:答案详解C解析:本题主要考查函数的概念和性质。

已知函数在单调递增，所以有在上恒成立。

因为，当时，，此时，不符合题意，所以可以排除，即排除A、B、D项。

故本题正确答案为C。

6.设函数在定义域内可导,的图象如图所示,则函数的图象可能是( )A. B. C. D.答案详解A解:如图,设函数图象上位于第二象限上的最大值点是,根据的图象,可得当时函数为增函数,当和函数为减函数是函数的极大值,可得,且当时,,当和时由此对照各个选项,可得函数的图象只有A项符合所以A选项是正确的7. 已知函数有唯一零点，则A: B: C: D:答案详解C解析:本题主要考查导数在研究函数中的应用。

由题知，所以，即为的对称轴，由题意知有唯一的零点，所以零点只能为，即，解出。

故本题正确答案为C。

考点3 导数与函数的极值、最值8、函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x0）=0：q：x=x0是f（x）的极值点，则（）A.p是q的充分必要条件B.p是q的充分条件，但不是q的必要条件C.p是q的必要条件，但不是q的充分条件D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【解析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础．解：函数f（x）=x3的导数为f'（x）=3x2，由f′（x0）=0，得x0=0，但此时函数f（x）单调递增，无极值，充分性不成立．根据极值的定义和性质，若x=x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0成立，即必要性成立，故p是q的必要条件，但不是q的充分条件，故选：C 9、已知为函数的极小值点，则（）A．B．C．4 D．2答案D解析对函数求导得，令，解得或，因为是开口向上的抛物线，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以是函数的极小值点.故本题正确答案为考点4 导数的综合应用10、已知函数。

（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围。

（1）因为。

若，则，令得，；令得，。

若，则恒成立；若，则恒成立，令得，即，解得；令得，。

综上所述，时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；时，函数的单调递增区间为；时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为。

（2）由（1）可知，当时，函数的最小值为，因为，所以，即；当时，恒成立；当时，函数的最小值为，因为，所以，解得。

综上所述，的取值范围为。

解析:本题主要考查导数在研究函数中的应用。

（1）根据题意可求得函数的导函数，对的取值进行分段讨论，可得到函数的对应的单调区间；（2）依题可知，函数恒成立即恒成立。

结合（1）中的单调区间可得到对应的最小值，令可得的取值范围11、已知函数。

（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若当时，，求的取值范围。

答案详解解：（1）根据已知可得，所以当时，，所以，又因为，所以所求直线方程为，即。

（2）当时，，即恒成立，等价于，因为，，所以在上恒成立即可。

对求导，得设，抛物线开口向上，横过定点，当时，恒成立，所以在上单调递增满足题意；当时，或，解得的零点为，，因为，若，只需即可，即，解得，又，所以此时。

综上所述，的取值范围是。

解析:本题主要考查导数的概念及几何意义，以及导数在研究函数中的应用。

（1）根据导数的几何意义，对求导，求得在处切线斜率，在将代入，求得切点坐标，进而可求得切线方程；（2）要求在上恒成立，只需，又，所以只需在上恒成立，再对求导，得到，因为的分子为二次函数，研究其开口和零点位置，确定使在上成立时的取值即可。

12、设a,,.已知函数,(Ⅰ)求的单调区间;(Ⅱ)已知函数和的图象在公共点处有相同的切线, (i)求证: 在处的导数等于0;若关于x的不等式在区间上恒成立,求b的取值范围.答案(Ⅰ)解:由,可得,令,计算得出,或.由,得当x变化时,,的变化情况如下表:x+ - +↗↘↗的单调递增区间为,,单调递减区间为;(Ⅱ)(i)证明:,根据题意知,,计算得出在处的导数等于0;解:,,由,可得又,,故为的极大值点,由(I)知另一方面,因为,故,由(Ⅰ)知在内单调递增,在内单调递减,故当时,在上恒成立,从而在上恒成立.由,得,令,,,令,计算得出(舍去),或,,,故的值域为的取值范围是。