变形前
xy平面变形特点
dx= ab=O1O2
变形后 O' O' =ρdθ 1 2
=O1O2
1 2 1
dq
a'1b'2=(ρ+y)dθ
ab的纵向线应变 2 O2'
a'b'-ab (ρ+y)dθ -dx = ε= dx ab = (ρ+y)dθ - ρd θ ρd θ
a
1
b
2
y
O1
O2O1' Nhomakorabeaa'
1
b' dx
My s = Iz
Iz
抗弯截面系数
smax =
M Wz
a7
纯弯曲正应力公式推导
对于剪切弯曲梁，这时两个基本假设并不成立。但实验和理 论分析表明，当l/h（跨高比）较大（>5）时，采用该正应 力公式计算的误差很小，满足工程的精度要求（依然可按照 纯弯曲求解）。 这时
s
=
M(x)y Iz
M(x) 1 = ρ(x) E Iz
纯弯曲正应力公式推导
一、变形几何关系 试件变形后 横线：保持为一条直线,与变形后的纵线正交，相对原来 位置转过一角度。 纵线：弯成弧线，上部纵线缩短，下部纵线伸长。
x
a1
纯弯曲正应力公式推导
假设：
平面假设：变形后的横截面仍为平面，并仍与弯曲后的纵线正交。 单向受力假设：各纵向纤维间无挤压，每根纵向纤维处于单向 受力状态。 中性层：梁中间有一层既不伸长，也不缩短。
2
dx
=
y
ρ
a4
纯弯曲正应力公式推导
二、物理关系 胡克定律
σ=Eε =E
y
ρ
由此可见，横截面上的正应力分布为
z
中性轴
a5
纯弯曲正应力公式推导
三、静力学关系
E ∫ ydA ∫ σ =0 FN= A dA = A ρ M=∫ A dA· σ y
得 ∫ A ydA =0
横截面对中性轴 的面积矩为零， 中性轴过形心。
smax
=
Mmax Wz
公式适用条件： 1. 在线弹性范围; 2. 材料（E）拉压同性; 3. 纯弯曲与横力弯曲； 4. 平面弯曲。
应用于强度校核！
a8
中性轴：中性层与横截面的交线。 中性层
a2
纯弯曲正应力公式推导
横截面绕中性轴转动 找与横截面上的正应力有关的纵向线应变的变 形规律： 取微段梁dx 1 O1 dx 2 1 2 O2' O2 O1'
dq
a
1
b
2
y
a'
1
b'
2
dx
O1O2变形前后长度不变，ρ为中性层的曲率半径
a3
纯弯曲正应力公式推导
M
dA
z
y
z σdA
y 正应力 公式：
My s = Iz
E ∫ y2dA = ρ A E I z = ρ 1 M = EIz 中性层曲率公式 ρ
EIz —— 梁的抗弯刚度
a6
纯弯曲正应力公式推导
正应力性质（正负号））确定： σ的符号可由M与y的符号确定，也 可由弯曲变形情况确定。 最大正应力： smax = 令 得 Iz Wz = ymax Mymax