空心轴内外径比为0.6。求空心轴和实心轴的重量比。
Ｄ=200
Ｄ1 ｄ1
解：（1）确定空心轴尺寸
由
max
M W
32
D13 (1
0.64
)
7.9
104
D1 210 mm
（2）比较两种情况下的重量比(面积比)：
A空 A实
4
D12 (1 D2
2)
2102 (1 0.62 ) 2002
0.7
4
由此可见，载荷相同、 max要求相等的条件
M z ydA M
A
纯弯曲时的正应力：公式推导
E y
N dA 0
1
A
M y zdA 0 2 M z ydA M 3
A
A
将应力表达式代入（1）式，得
N
A
dA
E
A
ydA
0
Sz ydA 0
A
上式表明中性轴通过横截面形心。
将应力表达式代入(2)式，得
A z
dA
E
yzdA
2. 纯弯曲时的变形特征
（1）各纵向线段弯成弧线，且部分纵向线段伸长， 部分纵向线段缩短。
（2）各横向线相对转过了一个角度,仍保持为直线。 （3）变形后的横向线仍与纵向弧线垂直。
纯弯曲时的正应力：概述
3. 纯弯曲时的基本假设
（1）平截面假设( Plane Assumption )
(a) 变形前为平面的横截面变形后仍为面上无剪应力
（2）纵向纤维间无正应力
纵向纤维无挤压
横截面上只有轴向正应力
纯弯曲时的正应力：公式推导
1. 变形几何关系
M
M
z x
y
中性轴(Neutral Axis)
中性层(Neutral Surface)
纯弯曲时的正应力：公式推导
b1'b2' yd
b1b2 dx O1O2 O1'O2' d
纯弯曲时的正应力：公式推导
纯弯曲时横截面上任意一点的弯曲正应力 E y
3. 静力平衡关系
横截面上内力系为垂直于 M 横截面的空间平行力系。
这一力系向坐标原点O简化， 得到三个内力分量。
N dA 0
A
M y zdA 0
A
zM
O
dA x
dA
y
z
y
dN dA dM y zdA dM z ydA
截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。
的实心圆，试计算轴内横截面上最大正应力。
30 kN·m Ｄ
L
M
30 kN·m
分析：纯弯曲
max
M W
解：（1）计算W
W D3 2003 109 7.9104 m3
32
32
（2）计算 max
max
M W
30 103 7.9 104
38.2 MPa
纯弯曲时的正应力：例题
[例2] 在相同载荷下，将实心轴改成max 相等的空心轴，
( y)d d y
d
d
dx
M
M
O1
O2
b1
b2
直梁纯弯曲时纵向线段的线应变与它到中性层的距离成正比。
纯弯曲时的正应力：公式推导
距离中性层为y的纵向纤维的应变 y
2. 物理关系( Hooke 定律)
M
E
E y
中性轴 z
O
x
y
结论：直梁纯弯曲时横截面上任意一点的弯曲正应力， 与它到中性层的距离成正比。即沿截面高度， 弯曲正应力按线性规律变化。
纯弯曲时的正应力
Normal Stresses During Pure Bending
南京航空航天大学 刘荣梅 2020年5月24 日
纯弯曲时的正应力：概述
1. 问题的提出
一、概述
如何简化出火车车轮轴的计算模型? 如何计算火车车轮轴内的应力? 如何设计车轮轴的横截面?
纯弯曲时的正应力：概述
平面弯曲( Plane Bending)
纯弯曲( Pure Bending) —— 弯矩为常量，剪力为零
（如图中AB 段 ）
横力弯曲(Transverse Bending) —既有弯矩，又有剪力
P
P （如图中AC 段和BD 段 ）
a
a
CA
BD
Q
P
C A
B Dx
P
P M
A C
BD x
Pa
纯弯曲时的正应力：概述
A
0
纯弯曲时的正应力：公式推导
E y
M z ydA M 3
A
将应力表达式代入(3)式，得
M ydA E y2 dA
A
A
A y 2 dA I Z
1 M
E Iz
纯弯曲时横截面上弯曲正应力的计算公式 My
➢公式应用条件：
Iz
直梁
纯弯曲
线弹性
纯弯曲时的正应力：例题
[例1]如图所示的悬臂梁，其横截面为直径等于200mm
下，采用空心轴节省材料。
纯弯曲时的正应力：结论与讨论
思考 从圆木中锯出的矩形截面梁，矩形的高:宽=？
才能最有效利用材料？
“
d h
b
李 诫 《 营
以 二 分 为 厚 。 ”
随 其 广 分 为 三 分 ，
凡 梁 之 大 小 ， 各
造
意为矩形梁木的高:宽=3:2。
法 式
》
试用弯曲正应力条件证明：从圆木锯出的矩形