1.付里叶(Fourier)级数
(1) 周期函数及其付里叶级数展开--三角函数形式
(2) 以上展开式称为周期函数x( t )的付里叶级数。其中a0 ,an , bn为付里 叶系
(3) 数，完全决定了付里叶变换的结果。在信号处理中，这种展开又叫做 频率分
(4) 析。其中常数a0 / 2表示信号的静态部分，称为直流分量；而
(t)e j.t dt
e j.t .t0 1
F (t) 1
齿轮系统的振动信号分析 正常
齿轮系统的振动信号分析 点蚀
齿轮系统的振动信号分析 点蚀
齿轮系统的振动信号分析 齿根裂纹
输入轴回转频率： f1=990/60=16.5Hz Z1、Z2啮合频率：
330Hz Z3、Z4啮合频率：
171.2Hz
注:第一类间断点
• 就是函数在t0点的左极限f(t0-0)和右极限f(t0+0)
存在但不相等, 或存在且相等但不等于f(t0)。
1.付里叶(Fourier)级数
复习：复数由实部和虚部组成。
z x jy
j 1
j 是虚数，本身并无真正的数值的意义，但它的整指数运算特性给数学
分析带来很多方便。特别是它和三角函数的关系，广泛用于信号分析。
第二节 时域分析方法 一. 统计特征参量分析
统计特征参量分析又称信号幅值域分析，在各态历经的 假设前提下，对随机过程的分析可变为对其任一样本的统 计分析，以下研究在时域中描述信号特征的几个常用统计 参量。
1. 概率密度函数p(x)；
• 数学变换是信号分析与处理的数学基础 • 常用算法：
一、付里叶(Fourier)变换 二、拉普拉斯(Laplace)变换 三、Z变换 四、希尔伯特变换(Hilbert Transform)
一、付里叶(Fourier)变换
• 内涵：任何时域信号都可以由各种不同频率的简谐信号组成，付里叶变换 就是研究它们之间关系的有力工具，即从时域变换至频域。
3. 付里叶变换
• 例1：求指数衰减函数
的付氏变换
X () x(t)e j.t dt e .t e j.t dt e( j)t dt
0
0
1 j j j 2 2 2 2 2 2
X ()
1
2 2
• 例2：求 单位脉冲函数δ(t) 的付氏变换
F (t)
3. 付里叶变换 (3)付里叶变换的基本性质
讨论的意义
研究付里叶变换的基本性质,一方面可以简化计算, 另一方面还可用来检验变换结果的正确与否。其更
重要的意义还在于：工程信号处理中的许多实用技
术都利用了这些变换性质。
主要性质
①线性;
②比例伸缩性质(相似性质);
③位移性质;
④对称性质(奇偶性质);
⑤曲线下的面积; ⑥卷积与乘积;
第二章 故障诊断的信号分析与处理技术 （内容提要）
1.信号的分类 2.常用数学变换[付里叶(Fourier)变换 、拉普拉斯
(Laplace)变换、Z 变换、希尔伯特(Hilbert)变换 3.时域分析 4.频域分析 5.时间序列分析 6.信号处理的一些特殊方法
第二章 故障诊断的信号分析与处理技术
• 重要意义：主要表现在以下几个方面 1. 可以把对复杂的时域信号的分析，转化为一系列不同频率的简谐信号 的分析，而简谐信号是最容易产生、最便于分析、理论最成熟的信号。 2. 任何一个系统（机械的、电器的、电子的、液压的、气动的…)都具有 自身的频率特性，即对不同的频率简谐信号的输入，有不同的响应特性。 如：人体、弹簧-质量系统、放大电路系统、滤波电路系统等。 3. 为了分析系统的工作状态，经常要求了解不同频率条件下系统的工作 状态。如合唱队各个声部的音响状态、机床嘈声的悦耳要求、设备的故障 源的识别等。
前面已得到傅立叶级数的复指数形式为：
令
，上式就可看作为周期函数x(t) 的展开式，即
3. 付里叶变换
（1）令 称为付里叶正变换，记为
（2）于是有： 称为付里叶逆变换，记为
工程上习惯使用频率 f , 因为
故有
在频率分析中，称 X(ω)、X(f) 为x(t)的谱函数、谱特性、或谱密度 函数，由于是复值函数，具有幅频特性和相频特性。
• 信号：信息的载体，通常表示为 x(t) 、 y(t)等。 • 信号分析与处理: 对信号的加工过程。 • 信号分析与处理的目的：
从原始信号中获取更多的有用信息；更便于 根据信号的特征进行判断。
第二章 故障诊断的信号分析与处理技术
• 信号分析与处理的常用方法： • 时域分析：
★统计特征参量分析（ 例如概率密度函数p(x) ， 概 率分布函数F(x)，均值μx ，偏态指标K3 ， 峭度指标K4，无量纲指标等）;
第二章 故障诊断的信号分析与处理技术
信号的分类
各态历经：st[x(t)]= st[x1(t)]= st[x2(t)]=......= st[xn(t)] 平稳信号：st[x(t)]= st[x (t1)]= st[x (t2)]=......= st[x (tn)]
第一节 信号分析与处理中的常用数学变换
(2-1)
则称x( t )为周期函数，而满足上式的最小正数T称为x( t )
的周期。
1.付里叶(Fourier)级数
• (1) 周期函数及其付里叶级数展开--三角函数形式
根据付里叶级数理论，对于任何一个周期为T的周期函数x(t)，如果在 [-T/2 ,T/2]上满足狄利赫利(Dirichlet)条件，即函数在[-T/2,T/2]上满足： ①连续或只有有限个第一类间断点；②只有有限个极值点。则可展开为如 下的付里叶级数：
欧拉（ Euler）公式的推导和理解
1.付里叶(Fourier)级数
（2）付里叶级数的复指数形式
为了运算的方便，我们可将上述用三角函数形式表示的付里叶级数变为 复指数形式。根据欧拉公式：
e j cos j sin
cos e j e j
2
sin e j e j j(e j e j )
（该部分可参阅有关书籍）
3. 付里叶变换 (5)快速付里叶变换
1965年，美国库列(J．W．Cooley)和图基(J．W．Tukey) 提出了快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform，FFT)计算 方法，使计算离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，
⑦微分与积分性质。
3. 付里叶变换 (4)离散付里叶变换
基于数字计算机的现代信号处理技术只能处理数字量而 不能处理模拟量，因此，要在计算机上实现前述的连续付 里叶变换，必须首先将各模拟量离散化为数字量，这个连 续付里叶变换的离散化实现过程即是所谓的离散付里叶变 换，简称DFT（Discrete Fouerier Transform）。有标 准的软件。
第二章 故障诊断的信号分析与ห้องสมุดไป่ตู้理技术
信号的分类--依据2
根据其统计特性的不同，可将随机信号分为： • 平稳随机信号：统计特性不随时间变化而改变的一类信号。如果信号的各阶
矩都不随时间而改变，则称此信号是 严 平稳(强平稳)；如果信号的统计特 性中只有均值和方差不随时间而改变，则称此信号是宽平稳(弱平稳)。
说明：在大多数情况下，在诊断机械状态监测中所测得的信号都属于平 稳随机信号的范畴。实际工作中，我们往往事先假定所测信号为平稳随机信 号。在平稳随机信号中各态历经信号最为重要。
各态历经性：是指其总体的集合统计量与其样本的时间统计量对应相等 。各态历经性的重要意义在于，可用样本来研究信号的总体特性。
• 非平稳随机信号：统计特性随时间而改变的一类信号。
举例 —付里叶(Fourier)级数—矩形波分解
举例 —付里叶(Fourier)级数—周期函数分解
幅值
时域分析
频域分析
举例—齿轮系统的振动信号分析 齿根裂纹
输入轴回转频率： f 1=990/60=16.5Hz Z1、Z2啮合频率：
330Hz Z3、Z4啮合频率：
171.2Hz
一、付里叶(Fourier)变换
• 主要内容： • 1.付里叶(Fourier)级数：周期函数； • 2.付里叶(Fourier)变换：非周期函数； • 3.离散付里叶(Fourier)变换（DFT：Discrete
Fourier Transform） • 4.快速付里叶(Fourier)变换（FFT：Fast Fourier
Transform）1965年 Cooley-Tukey首先提出。
上述几种方法与DFT方法比较：当采样点 N＝1000， DFT算法为200万次；FFT算法为1.5万次；WFTA算法为0.5 万次；PFTA算法为0.3万次。均有标准程序。
（该部分可参阅有关书籍）
第二节 时域分析方法（引言）
• 时域分析：如果对所测得的时间历程信号直 接实行各种运算且运算结果仍然属于时域范 畴，则这样的分析运算即为时域分析。如统 计特征参量分析、相关分析等；
1976年美国维诺格兰德(S.Winograd)提出了一种傅里 叶变换算法(Winograd Fourier Transform Algorithm，简 称WFTA)，用它计算DFT所需的乘法次数仅为FFT算法乘法 次数的1/3；1977年法国努斯鲍默(H.J.Nussbaumer)提出了 一种多项式变换傅里叶变换算法(Polynomial transform Fourier Transform Algorithm，简称PFTA)，结合使用FFT 和WFTA方法，在采样点数较大时，较FFT算法快3倍左右。
2j
2
可改写为
1.付里叶(Fourier)级数（2）付里叶级数的复指数形式 令
则有
1.付里叶(Fourier)级数（2）付里叶级数的复指数形式 讨论：
1. 由付里叶级数的三角函数表达式可以看出，x(t) 由幅值为An 、相位为 φn 频率为nω的各阶谐波分量完全决定，其几何意义非常明确。