第十六章 二次根式16.2 二次根式的乘除1．二次根式的乘法法则（1）一般地，二次根式的乘法法则是：__________(00)a b a b =≥≥，．语言叙述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数__________．在进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a ，b 均为非负数这一条件． 000)a b c abc a b c =≥≥≥，，． ②00)b d bd b d =≥≥，，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数；③乘法交换律和结合律以及乘法公式（平方差公式和完全平方公式）在二次根式的乘法中仍然可应用． （2）二次根式乘法法则的逆用(00)ab a b a b =≥≥，．语言叙述：积的算术平方根等于积中各因数或因式的算术平方根的积．公式中的a ，b 可以是数，也可以是代数式，但必须满足a ≥0，b ≥0．实际上，a ≥0，b ≥0是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab ≥0即可．二次根式乘法法则的逆用也称为积的算术平方根，在进行二次根式的乘法运算时，这两个关系经常交替使用． (0000)abcd a b c d a b c d =≥≥≥≥，，，．运用这个性质可以化简二次根式：如果一个二次根式的被开方数有的因数（式）是完全平方数（式），(00)ab a b a b =≥≥，2(0)a a a =≥将这些因数（式）“开方”出来，从而将二次根式化简．利用积的算术平方根的性质化简的步骤：①将被开方数进行因数分解或因式分解；②应用积的算术平方根的性质，将能开得尽方的因数或因式开出来．2．二次根式的除法法则（1）一般地，二次根式的除法法则是：0__________0)a b =≥，． 语言叙述：二次根式相除，把被开方数__________，根指数不变．【注意】①a ≥0，b >0时，式子才成立，若a ，b 都是负数，虽然0a b >范围内无意义；若b =0，a b则号无意义．学-科网 ②如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数．③二次根式的运算结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式．（2）二次根式除法法则的逆用00)a b =≥>， ★语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．公式中的a ，b 表示的代数式必频满足a ≥0，b >0，a ≥0，b >0是限制公式右边的，对公式的左边，只要0a b≥且0b ≠即可．利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为“（a ≥0，b >0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可． 3．最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．（1）被开方数不含__________；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．【拓展】分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化．分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号．分母的有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜．K知识参考答案：1．ab，不变2．>，相除3．分母K—重点二次根式的乘法和除法；最简二次根式的判断K—难点二次根式的乘法法则和除法法则的逆用K—易错运算顺序错误；忽视隐含条件一、二次根式的乘法1．法则中的a，b表示的代数式都必须是非负的．2．两个二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的一定要开方．【例1】下列计算正确的是A．25×35=65B．32×33=36C．42×23=85D．22×63=126【答案】D⨯⨯得【例2】916144A．144 B．±144 C．±12 D．12【答案】A⨯⨯．故选A．916144⨯⨯916144=3412=144二、二次根式的除法1000)a b c =≥>>，，；2．((()m n ÷=÷⋅，其中000a b n ≥>≠，，．【例3】= A ．a 、b 同号B ．a ≥0，b >0C ．a >0，b >0D ．a >0，b ≥0 【答案】B【解析】由二次根式的非负性可知，a ≥0，b ≥0，由于b 是分母，故b >0．故选B ．【例4】计算A ．B ．23xC ．D ．3x 【答案】C【解析】原式=4×C ． 三、二次根式的乘除混合运算二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在二次根式乘除法中仍然适用．二次根式乘除混合运算的一般步骤：（1）将算式中的除法转化为乘法；（2）利用乘法运算律将运算转化为系数和被开方数的乘法运算；（3）将系数和被开方数分别相乘；（4）化成最简二次根式．【例5】A B C D ．【答案】A 【解析】21111a a ab ab b ab b ab ab ab ÷⋅=⋅⋅=．故选A ．四、最简二次根式判断二次根式是不是最简二次根式的方法：一看：看被开方数中是否含有能开得尽方的因数（或因式），且被开方数中是否含有分母． 二化：若被开方数是多项式，能化成因数（或因式）积的形式，要先化成积的形式．三判断：得出结论．【例6】下列根式中，是最简二次根式的是A ．0.2bB ．1212a b -C ．22x y -D ．25ab【答案】C 【解析】因为：A 、50.25b b =；B 、1212233a b a b -=-； D 、25||5ab b a =，所以这三项都可化简，不是最简二次根式．故选C ．1．下列二次根式中，最简二次根式是A 23aB 13C 153D 1432．如果mn >0，n <0，下列等式中成立的有｡mn m n =1n m m n =m m n n =1m m n mn =-． A ．均不成立 B ．1个C ．2个D ．3个 3．下列各组二次根式化成最简二次根式后，被开方数完全相同的是A BCD 4．下列等式不成立的是A ．B =4CD =45x 的取值范围是 A ．x <3B ．x ≤3C ．0≤x <3D ．x ≥06A ．B ．C ．D ．7=x 的取值范围是__________．8．计算：=__________．9．学科_网 10．下列二次根式：其中是最简二次根式的是__________．（只填序号）11．计算：=__________．12．200020012)2)⋅=__________．13．计算：（1）25144⨯； （2）-3xyz ·1xy．14．计算：（1）186；（2）263x y xy ；（3）-213÷554；（4）320÷32223．15．计算（1）1223452533÷⨯；（2）21123(15)3825⨯-÷； （3）282(0)a a b ab a b÷⨯>；（4）27506⨯÷．16．当x <03x y -A ．xyB ．xC ．-xy -D ．-xy17A ．32BCD ．5218A ．6-B ．C ．-D ． 19．下列运算正确的是A 5315==⨯=B 431==-=C =D (2)(4)8=-⨯-=20都是最简二次根式，则m =__________，n =__________．21．一个圆锥的底面积是 cm 2，高是cm ，那么这个圆锥的体积是__________．222）2）．23cm ，他又想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助方老师求出圆的半径．24．（2018·甘肃兰州）下列二次根式中，是最简二次根式的是A ．18B ．13C ．27D ．1225．（2018·湖南益阳）123=⨯__________．26．（2018·江苏镇江）计算：182⨯=__________．1．【答案】D【解析】A 23a 3|a |，可化简；B 133333==⨯C 2153317317=⨯=可化简；因此只有D ： 1431311=⨯，不能开方，符合最简二次根式的条件．故选D ．2．【答案】C 【解析】根据题意，可知mn >0，n <0，所以可得m <0，根据二次根式的乘法的性质，可知m ≥0，n ≥0，n m m n ·n m m n，故②正确；根据二次根式除法的性质，可知m ≥0，n >01m n mn m mn n ⨯=-m ，故④正确．故选C ．3．【答案】D【解析】选项A 2ab a ab 的被开方数不相同；选项B 11m n +m n +mn 被开方数不相同；选项C ，不能够化简，被开方数不相同；选项D ，3289a b =223ab a ，3489a b 223ab a 3289a b 3489a b D ．4．【答案】B【解析】选项A 、C 、D 正确；选项B ，8÷2=42=，选项B 错误，故选B ．5．【答案】C【解析】根据题意得：030x x ≥⎧⎨->⎩，解得：03x ≤<．故选C ． 6．【答案】B【解析】原式=4418324233⨯⨯==，故选B ．9．【答案】7120.091960.091960.31470.361440.361440.61212⨯==⨯=⨯．故答案为：712． 10．【答案】①⑥【解析】最简二次根式是满足下列条件的二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含有能开的尽方的因式或因数.由此可得①⑥是二次根式，故答案为：①⑥． 11．【答案】-5【解析】原式48332731639495=÷÷==-=-．故答案为：5-． 123【解析】原式20002000200032)32)32)[(332)]=⋅=⋅2000(1)32)=-⋅⋅ 32)+32=32．13．【解析】（1=512=⨯60=．（2=-=-14．【解析】（1==（2==（3）====-（4）====15．【解析】（1）原式2353=⨯23=45==（2）(13()8=⨯-⨯354=-⨯154=-．（3）原式===（4）原式15==．16．【答案】C【解析】∵x<0x-C．17．【答案】A【解析】原式32，故选A．18．【答案】BB．19．【答案】A5315==⨯=，故正确；，故不正确；，故不正确；248=⨯=，故不正确．故选A．20．【答案】1、2【解析】由题意，知213221m nm n+-=⎧⎨-+=⎩，解得12mn=⎧⎨=⎩，因此m的值为1，n的值为2．故答案为：1，2．21．【答案】382cm【解析】根据圆锥的体积公式可得，这个圆锥的体积是182643128233⨯⨯==3cm．故答案为823cm．24．【答案】B【解析】A1832=B13C2733=不是最简二次根式，错误；D1223=B．25．【答案】6【解析】原式3×3．故答案为：6．26．【答案】218 2182⨯，故答案为：2．。