数学类比推理方法作者：林中虎来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2007年第04期类比推理在人们认识和改造客观世界的活动中具有重要意义．它能触类旁通，启发思考，不仅是解决日常生活中大量问题的基础，而且是进行科学研究和发明创造的有力工具．在人类悠久的发展史上，类比推理方法(下文简称为“类推法”)被誉为科学活动中“伟大的引路人”、“人类认知的核心”．与之相对应的，《普通高中数学课程标准》(实验)把培养学生的类比推理能力作为主要的能力培养目标之一．并且近年来高考试卷中也频频出现了类比思维的问题．笔者在查阅相关文献后，将对类推法的相关知识及其在高中数学中的运用进行述评，以供研讨．1 类推法的含义类比推理是人的抽象逻辑思维的一种主要形式．从形式逻辑的角度米看，类比推理就是根据两个(或两类)对象在某些属性上相同或相似，而且已知其中的一个(或一类)对象还只有其他特定属性，从而推出另一个(或另一类)对象也具有该特定属性为结论的推理．这种解决问题的方法即为类推法．它的逻辑形式可以表示为：对象A具有属性a、b、c、d；对象B具有属性a、b、c，所以对象B也具有属性d．而类推法的结构从简单地讲，主要由本象和类象(或者来源和目标)两个部分组成．类推法的过程也可用下列框图(如图1)表示如下：2 类推法的特征2。
1 或然性图1类比推理是不同于演绎，也不同于归纳的一种独立的推理形式．理由有二：其一，在思维运动的方向上，演绎推理的前提蕴涵结论，其思维过程是从一般到特殊、个别；归纳推理的前提并不必然蕴涵结论，其思维过程是从个别、特殊过渡到一般．类比推理由已知的相似点推出未知的可能的相似点，其思维过程是从特殊过渡到特殊．其二，在推理形式和要求上，演绎推理获得真实结论的条件是前提真实和推理形式正确，归纳推理结论的可靠性程度完全建立在枚举事例的数量上，而类比推理的结论是否可靠，主要是根据被类比的两个对象的相似属性的多少，相似属性愈多，则结论愈可靠．波利亚(G．Polya)提出，类比推理是归纳推理的基础．而演绎推理则是类比推理进一步发展的结果．由此亦可见，类比推理缺乏逻辑上的严格性和充足的理由，而带有假定和猜测的色彩．因此，它所推出的结论就带有或然性，可能是真的，也可能是假的．2。
2 相似性无论在我们的学习与生活中，还是在各个学科领域中，甚至在自然界中都处处充满着相似性，存在着大量的类比．正如列宁所说：“自然界的统一性显示在关于各种自然现象领域的微分方程式的惊人的类似中”．莱布尼茨(G．W．Leibniz)也指出：“我们必须使自己习惯于进行区分，即对两个或两个以上极其相似的事物，立即找出它们之间的所有差别．”‘我们必须使自己习惯于进行类比，即对两个或两个以上极其不同的事物，找出它们的相似点”．2。
3 探索性和预测性在演绎、归纳、类比这三种推理方法中，类推法推出的结论可靠程度也许最低，但往往却是最富于创造性的方法．因为运用类推法的时候，研究对象的范围内没有相应的一般原理，因而不受现成的原理的约束．相反，它可以提出种种可能的新原理，供人们去探索和检验．同时，由于类推法适用范围广，可以把看起来差别很大的两类事物联系起来，提出种种设想，这就人大有利于人们发挥思维的创造能力，获得新的启发、新的思想，从而发现新的原理．也正因为类推法具有科学探索和科学预见性的特征，其在科学研究中显得越来越重要．可见，类推法正是由于其猜测和想象，才会探索和预见到更多的科学发现．3 类推法在数学发展中的作用概述类推法在科学发展史上占有极其重要的作用．如鲁班通过类推法发明了锯子；以及近代的库仑定律的发现和验证、麦克斯韦电磁场理论、牛顿的万有引力理论以及元素周期表的建立与补充等等均是类比推理的产物．数学上的不少重大发现也是由类比推理提供线索而获得的，例如著名数学家欧拉(Euler)运用类推法获得非零自然数平方的倒数和为π26，而且用同样的方法发现了莱布尼兹级数的和，即1-13+15-17+19+…+(-1)n+112n-1+…=π4。
另外费马大定理和费马小定理的类比猜想，哥德巴赫猜想，非欧几何的诞生与发展等等，无不闪烁着类推法的光辉．对于类推法在数学发展中的作用，受到了许多数学家、数学教育家以及其他名人的盛赞．如波利亚在《数学与猜想》(第一卷)中，着重论述了数学中的“归纳与类比”．他运用一般化、特殊化和类比的协同，证明了毕达哥拉斯定理，并且指出：“不论是初等数学、高等数学的发现，或者在任何别的学科中的发现，恐怕都不能没有这些过程，特别是不能没有类比”，波利亚还认为，类比推论看来是最普通的一种推论，并且可能是最主要的一种，……，类比在一切发现中都有作用，而且在某些发现中有它最大的作用．德国哲学家康德(Kant)说：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进．”拉普拉斯(Laplace)曾指出：“甚至在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比．”诸如此类的赞誉之词不绝与耳．4 发挥类推法的积极作用，促进高中数学的教与学由于类推法在培养学生的解决问题能力与创新能力、加深对客观世界认识等方面有着无以伦比的独特作用，因此在高中数学教学中积极发挥类推法灼正向作用便成为大势所趋．已故数学家陈省身教授指出：“一个好的数学家与一个蹩脚的数学家，差别在于前者有很多具体的例子而后者只有抽象的理论”．鉴于此，以下将结合具体的例题来加以说明．4．1 引导学生运用类推法，建立起有效的、简约的认知结构在现今高中数学知识中，各知识点有着密切的联系，例如高中的数列知识与函数知识之间、等差数列与等比数列之间、几何中的二维与二维的之间、概率与集合之间，等等．均存在着简单的或相似的类比关系．于是把握住它们之间的关系，建立起良好的、合理的认知结构对高中学生学习的顺利开展以及知识的正确建构就至关重要了．例1 在由平面几何中的圆内接三角形以正三角形的面积为最大；圆内接四边形以正方形的面积为最大．然后运用类推法可提出一系列的立体几何中的例题和问题．如(1) 在圆柱的内接三棱柱中以内接正三棱柱的体积最大；(2)在球的内接四面体中，以内接正四面休的体积最大；(3)在球的内接长方体中，以内接正方体的体积最大；(4)球的内接圆柱中，以内接等边圆柱的侧面积最大；当然还可以类推出更多的相关命题．这样的教学过程，就是教师启发、引导学生应用类推法提出问题、解决问题的过程，也是让学生自己探究问题的过程，更是学生学会科学的看待问题、掌握方法的过程，当然也是对所涉及的知识点深入剖析、理清脉络的认知过程．在此过程中培养了学生的发散思维、收敛思维和创造思维．4．2 利用类推法构造相似问题，拓宽解题思路某些待解决的问题没有现成的类比物，但可通过观察，凭借结构上的相似性等寻找类比问题，然后可通过适当的代换，将原问题转化为类比问题来解决．4．3 利用类推法简化问题，培养思维的灵活性简化类比，就是将原命题类比到比原命题简单的类似命题，通过类比命题的解决思路和方法的启发，寻求原命题解决思路与方法．比如可先将高次问题类比到低次问题，普遍问题类比为特殊问题等，这样可以沟通数学知识、数学方法之间的联系，激活学生的思维，有利于培养学生思维的灵活性．例3 平面上有n个圆，每两个圆都相交于两点，每三个圆都不相交于同一点，这n个圆把平面分成多少部分?分析：问题比较难考虑，那么我们先来看一个比较简单的问题：平面上任意n条直线，每两条直线都相交，每三条直线都不共点，这n条直线把平面分成多少部分?一条直线分平面为两部分；第二条直线被第一条直线分成两段，增加了两部分；则两条直线分平面为四部分；第三条直线被前两条直线分成三段，增加了三部分，则三条直线分平面为七部分;…，即，2+2+3+…，猜想：已有k-1条直线，再增加一条，它就被前k-1条直线分成k 段，增加了k部分，所以n条直线分平面为：2+2+3+…+n=n2+n+22个部分．从这个问题的分析中我们归纳出一种思考方法，那就是考虑后一条直线被前k-1条直线分成k段，增加了k部分．对于圆是否也可以这样考虑：一个圆分平面为两部分；第二个圆被第一个圆分成两段弧，增加了两部分，则两个圆分平面为四部分；第三个圆被前两个圆分成四段弧，增加了四部分，则三个圆分平面为八部分；…，即，2+2(2-1)+2(3-1)+…，猜想：已有k-1个圆，再增加一个，它就被前k-1个圆分成2(k-1)段弧，增加了2(k-1)部分，所以n个圆分平面为：2+2(2-1)+2(3-1)+…+2(n-1)=n2-n+2个部分．(证明略)。
4．4 利用类推法进行引证，破除定势顽疾建构主义学习观认为：学生的错误不能单纯依靠正面的示范和反复的练习得以纠正，而必须是一个“自我否定”的过程，在数学问题中有的错误具有较强的隐蔽性，需要认真发掘错误的根源．而运用类推法有时识误更加鲜明且积极有效，使学生通过“内在的否定”纠正自己的错误，真正地理解，达到认识的升华。
分析：对于这种情况，如果应用基本不等式求最值时必须满足的三个条件“正、定、等”中的“定”加以说明．仍有很多同学没有真正理解其中的错误．但笔者认为用下面的类推法也许更能说明问题．经过与同学们的交流，绝大多数同学比授课时更加深入地理解其中的错因．综上可见，在高中数学教学中，我们教师不但要善于利用类比，而且要有意识地对学生进行类比训练，促使学生在生活和社会实践中对遇到的问题能进行类比推理，找出解决问题的办法．这样不仅能拓展其思维的领域，而且有助于发展学生的创造性思维和能力．当然，正如文所述，类推法有时也是一把“双刃剑”，但只要我们在运用类推法时，周密思考，不要牵强附会，对在解题的行动序列中出现类比的负迁移作用保持高度的警惕，我们就能够促使问题解决获得“圆满成功”．参考文献1 普通高中数学课程标准(实验)［M］．北京：人民教育出版社，20032 唐慧琳，刘昌．类比推理的影响因素及脑生理基础研究［J］．心理科学进展，2004（12）3 王亚同．认知心理学关于类比推理的研究［J］．青海师范大学学报(哲学社会科学版)，1991（1）4 波利亚．李心灿等译．数学与猜想(一、二卷)［M］．北京：科学出版社，1984“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。