第五章 异方差性一、判断题1. 在异方差的情况下，通常预测失效。

（ T ）2. 当模型存在异方差时，普通最小二乘法是有偏的。

（ F ）3. 存在异方差时，可以用广义差分法进行补救。

（F ）4. 存在异方差时，普通最小二乘法会低估参数估计量的方差。

（F ）5. 如果回归模型遗漏一个重要变量，则OLS 残差必定表现出明显的趋势。

（ T ） 二、单项选择题方法用于检验（ A ）A.异方差性B.自相关性C.随机解释变量D.多重共线性2.在异方差性情况下，常用的估计方法是（ D ）A.一阶差分法B.广义差分法C.工具变量法D.加权最小二乘法 检验方法主要用于检验（ A ）A.异方差性B.自相关性C.随机解释变量D.多重共线性4.下列哪种方法不是检验异方差的方法（ D ）A.戈德菲尔特——匡特检验B.怀特检验C.戈里瑟检验D.方差膨胀因子检验5.加权最小二乘法克服异方差的主要原理是通过赋予不同观测点以不同的权数，从而提高估计精度，即（ B ）A.重视大误差的作用，轻视小误差的作用B.重视小误差的作用，轻视大误差的作用C.重视小误差和大误差的作用D.轻视小误差和大误差的作用6.如果戈里瑟检验表明，普通最小二乘估计结果的残差i e 与i x 有显著的形式i i i v x e +=28715.0的相关关系（i v 满足线性模型的全部经典假设），则用加权最小二乘法估计模型参数时，权数应为（ B ）A. i xB. 21i xC. i x 1D. ix 1 7.设回归模型为i i i u bx y +=，其中()2i 2i x u Var σ=，则b 的最有效估计量为（ D ）A. ∑∑=2ˆx xy bB. 22)(ˆ∑∑∑∑∑--=x x n y x xy n bC. x yb =ˆ D. ∑=ii x y n 1b ˆ 8.容易产生异方差的数据是（ C ）A. 时间序列数据B.平均数据C.横截面数据D.年度数据9.假设回归模型为i i i u X Y ++=βα,其中()2i 2i X u Var σ=，则使用加权最小二乘法估计模型时，应将模型变换为（ C ）。

A.X u X X X Y ++=βα B.Xu X X Y ++=βα C. X u X X Y ++=βα D.222Xu X X X Y ++=βα 10.设回归模型为i i i u X Y +=β，其中()2i 2i X u Var σ=，则β的普通最小二乘估计量为（ A ）A.无偏但非有效B.无偏且有效C.有偏但有效D.有偏且非有效11.以21σ表示包含较小解释变量的子样本方差，22σ表示包含较大解释变量的子样本方差，则检验异方差的戈德菲尔德—匡特检验法的零假设是（ D ）A.021=σB.022=σC.02221=≠σσD.2221σσ=12.线性模型 i i 22i 110i u X X Y +++=βββ不满足哪一假定称为异方差现象（ B ）A.()0u u Cov j i =, B.()2i u Var σ= C.()0u X Cov j i =, D.()0X X Cov i 2i 1=,13.在异方差的众多检验方法中，既能判断随机误差项存在异方差，又能给出异方差具体存在形式的检验方法是（ C ）检验 B.怀特检验 C.戈里瑟检验 D.图示检验法14.设回归模型为i i i u X Y +=β，其中i i X u Var 2)(σ=，则β的最有效估计量为（ C ）。

A.2ˆX XY ∑∑=β B.22)(ˆX X n Y X XY n ∑-∑∑∑-∑=β C.X Y =βˆ D.X Y n ∑=1ˆβ 15．对于模型i i i X Y μββ++=10，如果在异方差检验中发现2)(σμi i X Var =，则用模型变换法估计模型参数时，原模型左右两边应乘以（ D ）。

A. i XB. i XC. i X 1D. i X 1三、多项选择题1.在异方差条件下普通最小二乘法具有如下性质（ AB ）A.线性B.无偏性C.最小方差性D.有效性2.异方差性将导致（ BCDE ）。

A.普通最小二乘法估计量有偏和非一致B.普通最小二乘法估计量非有效C.普通最小二乘法估计量的方差的估计量有偏D.建立在普通最小二乘法估计基础上的假设检验失效E.建立在普通最小二乘法估计基础上的预测区间变得不准确3.下列哪些方法可用于异方差性的检验（ CD ）。

A. DW 检验B.方差膨胀因子检验法C.戈德菲尔德—匡特检验法（样本分段比较法）D.戈里瑟检验（残差回归检验法）4.当模型存在异方差现象时，加权最小二乘估计量具备（ ABCD ）。

A.线性B.无偏性C.有效性D.一致性5.下列说法正确的有（ BE ）。

A.当异方差出现时，最小二乘估计是有偏的和不具有最小方差特性B.当异方差出现时，常用的t 和F 检验失效C.异方差情况下，通常的OLS 估计一定高估了估计量的标准差D.如果OLS 回归的残差表现出系统性，则说明数据中不存在异方差性E.如果回归模型中遗漏一个重要变量，则OLS 残差必定表现出明显的趋势6.在计量经济学中，产生异方差的原因主要有（ ABCD ）A.模型中遗漏了某些解释变量B.模型函数形式的设定误差C.样本数据的测量误差D.截面数据中总体各单位的差异E.非随机因素的影响四、简答题1. 什么是异方差性试举例说明经济现象中的异方差性。

答：异方差性是指模型违反了古典假定中的同方差假定，它是计量经济分析中的一个专门问题。

在线性回归模型中，如果随机误差项的方差不是常数，即对不同的解释变量观测值彼此不同，则称随机项i u 具有异方差性，即()n 21i u Var 2i i ,,,, ==σ。

例如，利用横截面数据研究消费和收入之间的关系时，对收入较少的家庭在满足基本消费支出之后的剩余收入已经不多，用在购买生活必需品上的比例较大，消费的分散幅度不大。

收入较多的家庭有更多可自由支配的收入，使得这些家庭的消费有更大的选择范围。

由于个性、爱好、储蓄心理、消费习惯和家庭成员构成等那个的差异，使消费的分散幅度增大，或者说低收入家庭消费的分散度和高收入家庭消费得分散度相比较，可以认为牵着小于后者。

这种被解释变量的分散幅度的变化，反映到模型中，可以理解为误差项方差的变化。

2. 产生异方差性的原因及异方差性对模型的OLS 估计有何影响。

答：产生原因：（1）模型中遗漏了某些重要的解释变量；（2）模型函数形式的设定误差；（3）样本数据的测量误差的变化；（4）截面数据中总体各单位的差异。

产生的影响：如果线性回归模型的随机误差项存在异方差性，会对模型参数估计、模型检验及模型应用带来重大影响，主要有：（1）参数的OLS 估计仍然具有无偏性；（2）参数的OLS 估计式的方差不再是最小的；（3）解释变量的显著性检验失效；（4）预测精度降低,区间预测面临困难。

3. 检验异方差性的方法有哪些答：检验方法：（1）图示检验法；（2）戈德菲尔德—匡特检验；（3）怀特检验；（4）戈里瑟检验（残差回归检验法）；（5）ARCH 检验（自回归条件异方差检验）4. 异方差性的解决方法有哪些答：解决方法：（1）模型变换法；（2）加权最小二乘法；（3）模型的对数变换等5.什么是加权最小二乘法它的基本思想是什么答:加权最小二乘法的基本原理：最小二乘法的基本原理是使残差平方和∑2t e 为最小，在异方差情况下，总体回归直线对于不同的t t e x ,的波动幅度相差很大。

随机误差项方差2tσ越小，样本点t y 对总体回归直线的偏离程度越低，残差t e 的可信度越高（或者说样本点的代表性越强）；而2t σ较大的样本点可能会偏离总体回归直线很远，t e 的可信度较低（或者说样本点的代表性较弱）。

因此，在考虑异方差模型的拟合总误差时，对于不同的2t e 应该区别对待。

具体做法：对较小的2t e 给于充分的重视，即给于较大的权数；对较大的2t e 给于充分的重视，即给于较小的权数。

更好的使∑2t e 反映)var(i u 对残差平方和的影响程度，从而改善参数估计的统计性质。

6. 戈德菲尔特——匡特检验（即样本分段法）检验异方差性的基本原理及其使用条件。

答：戈德菲尔特—匡特检验（即样本分段法）的基本原理：将样本分为两部分，然后分别对两个样本进行回归，并计算比较两个回归的剩余平方和是否有明显差异，如果随机误差项是同方差的，则这两个子样本的残差平方和应该大致相等；如果是异方差的，则两者差别较大，以此来判断是否存在异方差。

使用条件：（1）样本容量要尽可能大，一般而言应该在参数个数两倍以上；（2）t u 服从正态分布，且除了异方差条件外，其它假定均满足。

7.简述异方差性检验方法的共同思路。

答：由于异方差性，相对于不同的样本点，也就是相对于不同的解释变量观测值，随机误差项具有不同的方差，那么检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与解释变量观测值之间的相关性。

各种检验方法就是在这个思路下发展起来的。

五、计算题1.设消费函数为01i i i y b b x u =++，其中i y 为消费支出，i x 为个人可支配收入， i u 为随机误差项，并且22()0,()i i i E u Var u x σ==（其中2σ为常数）。

试回答以下问题： （1）选用适当的变换修正异方差，要求写出变换过程；（2）写出修正异方差后的参数估计量的表达式。

解：（1）原模型：01i i i y b b x u =++①等号两边同除以i x ，新模型：011i i i i iy u b b x x x =++ ②令**1,,i ii i i i i i y u y x v x x x ===则：②变为**10i i i y b b x v =++，此时22221()()()i i i i i u Var v Var x x x σσ===，新模型不存在异方差性。

（2）对**10i i i y b b x v =++进行普通最小二乘估计****0*2*2**10()()i i i i i i i i n x y x y b n x x b y b x ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩∑∑∑∑∑ 其中**1,i i i i i y y x x x ==（进一步带入计算也可）2.检验下列模型是否存在异方差性，列出检验步骤，给出结论。

0112233t t t t t y b b x b x b x u =++++样本共40个，本题假设去掉c=12个样本，假设异方差由1i x 引起，数值小的一组残差平方和为10.46617RSS E =-，数值大的一组平方和为20.3617RSS E =-。

0.05(10,10) 2.98F =解：（1）01:; :;t t H u H u 为同方差性为异方差性（2）120.46617 1.290.3617RSS E F RSS E -===-（3）0.05(10,10) 2.98F =（4）0.05(10,10)F F ≤，接受原假设，认为随机误差项为同方差性。