第三章 微分中值定理及其应用3.1 中值定理 3.1.1 费马引理设函数)(x f 在点0x 处可导且在点0x 处取得极值，则0)(0'=x f 。

备注：费马引理实质上是可导函数极值存在的必要条件。

3.1.2 罗尔定理设函数)(x f 在[]b a ,上连续，),(b a 上可导，且)()(b f a f =，则至少存在一点),(b a ∈ε，使得0)('=εf 。

（1）罗尔定理的三个条件缺一不可。

（2）罗尔定理的几何意义是曲线)(x f 存在水平切线。

（3）罗尔定理只给出了导函数零点的存在性，通常这样的零点是不易具体求出的。

例1：设函数)(x f 在[]3,0上连续，在)3,0(上可导，3)2()1()0(=++f f f ，1)3(=f 。

证明：至少存在一点)3,0(∈ε，使得0)('=εf 。

例2：设函数)(x f 在[]b a ,上连续，0)()(==b f a f ，且)(x f 在),(b a 内可导，试证：对任意的实数α，存在一点),(b a ∈ξ，使得αξξ=)()('f f 例3：设函数)(x f 在[]b a ,上具有二阶导数，且0)()(==b f a f ，0)()('' b f a f 。

证明：（1）至少存在一点),(b a ∈ε，使得0)(=εf（2）至少存在一点),(b a ∈η，使得0)(''=ηf 。

例4：设n a a a 21,满足n i R a n a a a a i nn ,2,1,,012)1(531321=∈=--+++-- 证明：方程0)12cos(3cos cos 21=-+++x n a x a x a n 在)2,0(π内至少有一个实根。

例5：设函数)(x f ，)(x g 在[]b a ,上连续，在),(b a 内二阶可导且存在相等的最大值，又)()(),()(b g b f a g a f ==。

证明： （1）存在),(b a ∈η，使得)()(ηηg f =； （2）存在),(b a ∈ε，使得)()(''''εεg f =。

例6：设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导。

证明：若0 a ，0)(=a f 时，存在点),(b a ∈ε，使得)()('εεεf ab f -=。

3.1.3 拉格朗日中值定理（微分中值定理）设函数)(x f 在[]b a ,上连续，),(b a 上可导，则至少存在一点),(b a ∈ε，使得)()()()('εf a b a f b f -=-或者ab a f b f f --=)()()('ε。

（1）微分中值定理的两个条件缺一不可。

（2）微分中值定理的几何意义：曲线)(x f 上存在一点的切线平行于由点))(,(a f a 与点))(,(b f b 连结成的弦。

（3）微分中值定理揭示了函数)(x f 在闭区间[]b a ,上的整体平均变化率等于函数)(x f 在),(b a 上局部某点的瞬时变化率，它是连接整体与局部的桥梁。

（4）罗尔定理可以看成是微分中值定理的一个特殊情况。

（5）微分中值定理的具体公式：10)),(()()()(' θθa b a f a b a f b f -+-=-（6）推论：①若函数)(x f 在区间I 上的导数恒为零，则)(x f 在I 上恒为常数。

②若函数)(x f 、)(x g 在区间I 上恒有)()(''x g x f =，则在I 上有C x g x f +=)()(，其中C 为常数。

例7：下列四个命题中正确的是（）（A ）若)('x f 在)1,0(内连续，则)(x f 在)1,0(内有界。

（B ）若)(x f 在)1,0(内连续，则)(x f 在)1,0(内有界。

（C ）若)('x f 在)1,0(内有界，则)(x f 在)1,0(内有界。

（D ）若)(x f 在)1,0(内有界，则)('x f 在)1,0(内有界。

例8：证明：（1）当1 x 时，x e e x ⋅（2）当[]1,1-∈x 时，2arccos arcsin π=+x x 。

（3）对任意自然数1 n ，有nn n 1)11ln(11 ++。

例9：设k x f x =+∞→)(lim'，求[])()1(lim x f x f x -++∞→ 例10：设10≤b ，ξ为函数x x f arcsin )(=在区间[]b ,0上应用拉格朗日中值定理得到的中值，求极限bb ξ+→0lim 。

例11：假设函数)(x f 和)(x g 在[]b a ,上存在二阶导数并且0)(''≠x g 0)()()()(====b g a g b f a f 。

证明：（1）在),(b a 内0)(≠x g 。

（2）在 ),(b a 内至少存在一点ε，使得)()()()(''''εεεεg f g f =。

例12：已知函数)(x f 在[]1,0上连续，在)1,0(内可导，且0)0(=f1)1(=f 。

证明：（1）存在)1,0(∈ε，使得εε-=1)(f ；（2）存在两个不同的点)1,0(,∈γη，使得1)()(''=γηf f 。

3.1.4 柯西中值定理设函数)(x f 与)(x g 在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，且在),(b a 内的任一点x 均有0)('≠x g ，则至少存在一点),(b a ∈ε，使得)()()()()()(''εεg f a g b g a f b f =-- （1）柯西中值定理是针对两个函数而言的。

（2）柯西中值定理不能看成为两个函数应用拉格朗日中值定理的商。

（3）当x x g =)(时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理，因此柯西中值定理称为广义的中值定理。

例13：证明：设b a 0，函数)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得[])()()()(2'22ξξf a b a f b f -=- 例14：设b a 0，试证至少存在一点),(b a ∈ξ，使得222/)ln 1)((ln ln ξξ--=-ba ab a b b a例15：设函数)(x f 在[]1,0上连续，在)1,0(内可导，0)(' x f ， 10 x ，0)0(=f 。

证明：存在)1,0(,∈μλ使得1=+μλ，且)()()()(''μμλλf f f f =例16：设函数在)(x f []b a ,上连续，在),(b a 内可导，且0)('≠x f 。

证明：存在),(,b a ∈ηε，使得ηηε---=e ab e e f f a b )()(''。

3.2 洛必达法则 3.2.1 两种基本未定式 （1）“00”型若函数)(),(x g x f 满足下列条件： ①当a x →时，函数0)(),(→x g x f②在点a 的某去心领域内有)(),(''x g x f 存在，且0)('≠x g③)()(lim ''x g x f a x →存在（或为∞）则)()(lim )()(lim ''x g x f x g x f a x a x →→= （2）“∞∞”型若函数)(),(x g x f 满足下列条件： ①当a x →时，函数∞→)(),(x g x f②当x 充分大时有)(),(''x g x f 存在，且0)('≠x g ③)()(lim ''x g x f a x →存在（或为∞）则)()(lim )()(lim ''x g x f x g x f a x a x →→= 备注：（1）应用洛必达法则之前一定要先检验极限是否为未定式。

（2）具体的解题过程中洛必达法则可能不止使用一次，一直使用到不能使用为止。

（3）洛必达法则求极限之前要先对式子进行恒等变形或者等价无穷小替换将式子进行简化，然后利用洛必达法则。

（4）运用洛必达法则求极限，若)()(lim ''x g x f a x →不存在且不为∞，则只能说明洛必达法则失效，不意味着原函数的极限不存在。

（5）当+∞→x 时，+∞→)0(,,ln λλx n e x x ，且速度依次递增。

即0ln lim =+∞→n x xx0lim =+∞→xnx e x λ0ln lim=+∞→x x e xλ（人，妖，神）3.2.2 其他类型未定式 （1）“∞•0”型：方法：倒下去，使之成为“00”或者“∞∞”（2）“∞-∞”型：方法：①通分；②根式有理化；③倒代换（提因子+变量代换）（3）“1∞，0∞，00”型：方法：化成以e 为底，然后转化成基本未定式求极限。

例17：求极限)1ln()cos 1(1cossin 3lim20x x x x x x +++→ 例18：求极限：（1）xex x 210lim-→（2）21limx x x ++∞→（3）x x x +→0lim（4）)1(lim a a nnn ∞→ 例19：求⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∞→)11ln(lim 2x x x x 例20：若0,0 c a 均为常数，则xxxx c a sin 302lim ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+→=例21：试确定常数C B A ,,的值，使得)(1)1(32x o Ax Cx Bx e x ++=++，其中)(3x o 是当0→x 时比3x 高阶的无穷小。

例22：已知)(x f 在),(+∞-∞内可导，且e x f x =∞→)(lim '， [])1()(lim lim --=⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→∞→x f x f c x c x x xx ，求c 的值。

3.3 泰勒公式设函数)(x f 在含有0x 的某个开区间),(b a 内具有直到)1(+n 阶的导数，则对于任意一点),(b a x ∈有)()(!)()(!2)())(()()(00)(200''00'0x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-+-+= ，其中10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ，（ξ介于0x 与x 之间），则称)(x f 是按)(0x x -的幂展开的n 阶泰勒公式。

（1）10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ称为拉格朗日型余项。