要点： （1）分类； （2）相互独立； （3） N=m1+m2+…+mn（各类方法之和）
分步计数原理（乘法原理）：
完成一件事，需要分成n个步骤， 做第1步有m1种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法，…，
做第n步有mn种不同的方法. 那么完成这件事共有N = m1×m2×…×mn种不同的
方法.
练习1、若 (1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7 练习2、求 a0+ a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7的值 若(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7
求 a0+ a2+a4+a6的值
.
例1：展开（1＋1)4 x
（ 1 x ） n 1 C n 1 x C n 2 x 2 C n r x r C n n x n
3、令a=1，b=1
CC C(1 0 1L n
n
n
n
1)
n
2n
证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数 的和等于偶数项的二项式系数的和。
证明： (a b)n Cn0an Cn1an1b Cnranrbr Cnnbn
C n mm !(nn !m )(!n,m N,mn)
组合数性质1：
Cnm Cnnm
说明： （1）规定： C0n 1
(2)等式两边下标相同边 ，上 两标之和等于下标 (3)当m n时,用此性质可以简化运算
2
组合数性质2：
CnmCnm1Cnm 1
排列和组合的区别和联系：
名称 定义
符号 公式
排列
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
规定0！ ：1
三、组合的概念：
一般地，从n个不同元素中取出m （m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不 同元素中取出m个元素的一个组合.
说明： ⑴不同元素； ⑵“只取不排”——无序性； ⑶相同组合：元素相同
组合数的概念：
从n个不同元素中取出m(m≤n)个 元素的所有组合的个数，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的组合数．
全排列数：
Ann n(n1)(n2)321 n!(叫做 n的阶)乘
排列数公式阶乘表示：
A n m n (n 1 )n ( 2 ) (n m 1 )
n (n 1 )n ( 2 ) (n m 1 )n ( m ) 3 2 1 (n m )n ( m 1 ) 3 2 1
n! (n m)!
Anm
Anm n(n 1) (n m 1)
Anm
(n
n! m)!
组合
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
C
m n
C
m n
n(n 1) (n m m!
1)
C
m n
n! m!(n
m)!
C
0 n
1
关系 性质
Ann n!
Anm Cnm Amm
0! 1
， C C m n
中间一项是第5,6项,T41C94x94(1x)4 70x
T51C95x95(1x)5
70 x
例4(1)：试判断在 x
1
8
的展开式中有
2 3 x
无常数项？如果有，求出此常数项；如果
没有，说明理由.
解：设展开式中的第r+1项为常数项，则：
T r 1 C 8 r• 2 x 8 r• 3 1 x r 1rC 8 r• 1 2 8 r• x 2 4 3 4 r
C 0 C 2 C 4 C 1 C 3 C 5
nnn
nn n
赋值法
求二项展开式系数和，常常得用赋值法，设 二项式中的字母为1或-1，得到一个或几个等 式，再根据结果求值
.
相关练习题
.
若(1+2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7 求 a0+ a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7的值 求 a0+ a2+a4+a6的值 求 a1+ a3+a5+a7的值
每类办法相互独立， 各步骤中的方法相互依
区别2 每类方法都能独立地 存，只有各个步骤都完
完成这件事情
成才算完成这件事
二、排列的概念：
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素（这里的被 取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列.
说明： （1）排列的定义包括两个方面：
= 6 4 x 3 1 9 2 x 2 2 4 0 x 1 6 0 6 x 0 1 x 2 2 x 1 3
第三项的二项式系数为
C
2 6
15
第六项的系数为 C65•2(1)512
例 3 : ( 1 ) 求 （ 1 + 2 x ) 7 的 展 开 式 的 第 4 项 的 系 数
( 2 ) 求 （ x 1 )9 的 展 开 式 中 x 3 的 系 数 和 中 间 项 x
解: T r 1C 9 r(3 x)9r(3 x)rC 9 r(1 3)9r3rx9r1 2r
由9-r-12r0得r6.
T7 C96(13)9636 2268
2、求 ( x 3 ) 9 的展开式的中间项 3x
解: 展开式共有10项,中间两项是第5、6项
T5T41C9 4(3 x)94(3x)442x3
由题意可知， 244r 0r6 常数项即
x 3
故存在常数项且为第7项，
0项.
常数项T716•C86•1286•x07
(2)：由 ( 3x3 2)100展开式所得的x的
多项式中，系数为有理数的共有多少项？
解： ( 3x3 2)100的展开式的通项公式为：
T r 1 C 1 r 0 0 •3 x 1 0 0 r•3 2 r 3 1 0 0 2 r• 2 3 r• C 1 r 0 0 • x 1 0 0 r
nm n
Cm n1
Cnm
C m1 n
全排列：n个不同元素全部取出的一个排列.全排列数公式：所
有全排列的个数，即： Ann n (n 1) (n 2) 21
五、二项式定理：
将(a+b)n展开 （a+b）n=(ab)(ab)(ab)
n个
.
计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
n
(a+b)n展开式的二项式系数
1 11
2 121
3 1331
4 14641
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
对称性
.
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
1）请看系数有没有明显的规律？ 2）上下两行有什么关系吗？ 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?
①取出元素，②按一定的顺序排列； （2）两个排列相同的条件：
①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同； （3）当m=n时，称为n个元素的全排列.
排列数的定义：
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的 所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素 的排列数.
用符号表示:
A
m n
区别排列和排列数的不同： “一个排列”是指：从n个不同元素中，任取
第二十一章 排列 组合 二项式定理
知识结构网络图：
排列与组合
基本原理 排列 排列数公式 组合 组合数公式 组合数的两个性质
二项式定理
二项式定理 二项式系数的性质
复习《第十一章概率与统计初步》
一、分类计数原理（加法原理）：
完成一件事情，有n类方式,
在第1类方式中有m1种不同的方法, 在第2类方式中有m2种不同的方法，……， 在第n类方式中有mn种不同的方法。 那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.
例 2： 展 开 (2 x1)6， 并 求 第 3项 的 x
二 项 式 系 数 和 第 6项 的 系 数 .
解: (2 x 1)6=1(2x1)6
x x3
= x 1 3 [ ( 2 x )6 C 6 1 (2 x )5 C 6 2 (2 x )4 C 6 3 (2 x )3
C 6 4(2x)2C 6 5(2x)C 6 6]
A n m n (n 1 )n ( 2 ) (n m 1 )
种填法 .
A n m n (n 1 )n ( 2 ) (n m 1 )
说明：
（1）公式特征：第一个因数是n，后面每 一个因数比它前面一个少1，最后一个因数 是n-m+1，共有m个因数；
（2）全排列：当m=n时,即n个不同元素 全部取出的一个排列.
.
早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解 九章算法》二项式系数表.在书中说明了表里“一”以 外的每一个数都等于它肩上两个数的和；指出这个方 法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公 元11世纪）已经用过它.这表明我国发现这个表不晚 于11世纪；在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯 卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕 斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百 年左右.
在二项式定理中，令 a 1, b 1 ，则：
11 n Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 (1)nCnn
0 (Cn0 Cn2 ) (Cn1 Cn3 )