安徽省肥西县山南镇金牛中学( 231251) 赵立春
沪科版八年级数学教材在平行四边形一 章中有这样一道试题: 求证梯形两条对角线中 点的连线平行两底, 且等于两底差的一半. 这 道题也有多种解法.
分析 这是一道文字叙述式的证明题. 其 解法步骤: 先画出符合题意的图形, 再写出已 知、求证, 最后证明.
A B- DC, 故 E F
AB
CD; EF=
1 2
(
A
B
-
CD) . 证法 3
如 图 4, 延 长 EF 交
B C 于点 G , 因为 E 、F 分别 为对角线 A C、B D 的中点,
CE AE
=
BDFF,
图4
DC EF A B
( 夹在平行线之间的对应线段成比例定理的逆
定理) .
CG= B G( 三角形中位线定理的推论: 过三角形一边中点平行底边的直线必平分另
一边) .
易 知 E G 是 CA B 的 中 位 线, FG 是
BCD 的中位线,
由中位线的性质定理知
E G=
1 2
A
B
,
又 FG=
1 2
D
C,
故 EF= EG- FG=
1 2
A
B
-
1 2
DC.
( 责审 赵大悌)
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如图 1, 梯 形 A BCD 中, A B CD, A B> CD, E、 F 分 别 为 对角 线 A C 、BD 的中点. 求 证: E F A B
CD;
EF =
1 2
(
AB
-
图1
DC) . 证法 1 如图 2, 连接 CF 并延长
交AB 于G.
A B CD,
CDB= DBG,
DCF= BGF.
图2
又 DF= BF,
因此 DCF B GF,
CD= BG, CF= GF. 又 CE= AE,
EF 是 CA G 的中位线, 于是 2
A
G=
1 2
( AB-
B G)
=
1 2
(
A
B-
CD) .
证法 2 如图 3, 过 F 点作对角线 A C 的平行线, 交 A B 于 M 点, 交 DC 的延长线于 G 点, 仿证法 1 易得 DGF B MF, GF= M F. 又 CE= A E, DG AB , 因此四边形 CG
MA、CGF E、EF M A 都 是平行四边形.
EF A B
CD, 且 CG = EF = A M ,
而 AM = AB- M B= A B
图3
- DG = A B - ( DC +
CG) = A B- DC- CG,
即 A M= A B- DC- CG. A M+ CG= A B - D C, 即 E F+ EF =