况
在所有可能情况n中,再找到满足条件的事
件的个数m,最后代入公式计算.
五、树状图法
当一次试验中涉及2个因素或更多的因素时，为
了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用“树状
图”.
树形图的画法:
一个试验
如一个试验中涉 第一个因数 A 及2个或3个因数，
B
第一个因数中有2 种可能情况；第 第二个 1 2 3 1 2 3
.
（2）画树状图如右： 由树状图可知，k、b的取值共有6种情
况， 其中k＜0且b＜0的情况有2种， ∴P（一次函数y=kx+b的图象经过第
二、三、四象限）= 2 1 .
63
针对训练
3. 一个袋中装有2个黑球3个白球，这些球除颜色外，大
小、形状、质地完全相同，不放回，再随机的从这个袋
针对训练
1.“闭上眼睛从布袋中随机地摸出1个球，恰是红球
的概率是 2
7
”的意思是（ B
）
A．布袋中有2个红球和5个其他颜色的球
B．如果摸球次数很多，那么平均每摸7次，就有2次
摸中红球
C．摸7次，就有2次摸中红球
D．摸7次，就有5次摸不中红球
2.下列事件中是必然事件的是（ D ） A．从一个装有蓝、白两色球的缸里摸出一个球， 摸出的球是白球 B．小丹的自行车轮胎被钉子扎坏 C．小红期末考试数学成绩一定得满分 D．将油滴入水中，油会浮在水面上
②频率与概率的关系：两者都能定量地反映随机事件 可能性的大小，但频率具有随机性，概率是自身固有 的性质，不具有随机性.
2.概率的计算公式：
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果， 并且它们发生的可能性都相等，那么出现每一种结果 的概率都是 1 .
n
如果事件A包括其中的m种可能的结果，那么事件 A发生的概率
二个因数中有3种
可能的情况；第 第三个 a b a b a b a b a b a b
三个因数中有2种 可能的情况.
n=2×3×2=12
考点讲练
考点一 事件的判断和概率的意义
例1 下列事件是随机事件的是（ D ） A.明天太阳从东方升起 B.任意画一个三角形，其内角和是360° C.通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰 D.射击运动员射击一次，命中靶心
余都相同的球．如果口袋中装有3个红球且摸到红球
的概率为
1 5
，那么口袋中球的总个数为__1_5__．
解析：设口袋中球的总个数为x，
则摸到红球的概率为 3 1 ，
x5
所以x=15．
考点五 用概率作决策
例6 在一个不透明的口袋里分别标注2、4、6的3个小球 （小球除数字外，其余都相同），另有3张背面完全一 样，正面分别写有数字6、7、8的卡片.现从口袋中任意 摸出一个小球，再从这3张背面朝上的卡片中任意摸出 一张卡片. （1）请你用列表或画树状图的方法，表示出所有可能 出现的结果；
例5 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的
玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通
过多次摸球试验后发现从中摸到红色球、黑色球的
频率稳定在15％和45％，则口袋中白色球的个数最
有可能是（ C ）
A.24个
B.18个
C.16个
D.6个
针对训练
4.在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其
P(A)=
1 n
+
1 n
+…+
1 n
=
m n
m个
四、列表法 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结
果数目较多时，为了不重不漏的列出所有可能的结果， 通常采用列表法. 列表法中表格构造特点:
一个因素所包含的可能情况
当一
另一个 因素所 包含的 可能情
两个因素所组合的 所有可能情况，即 n
次试验中涉 及3个因素或 更多的因素 时,怎么办?
考点二 用列举法求概率
例2 如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小
灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯
泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率
是（ C ）
A.
1 2
B. 1
3
C. 1
4
D. 1
6
例3 如图所示，有3张不透明的卡片，除正面写有不同 的数字外，其它均相同．将这三张卡片背面朝上洗匀 后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的 数字记作一次函数表达式中的k，第二次从余下的两张 卡片中再随机抽取一张，上面标有的数字记作一次函 数表达式中的b． （1）写出k为负数的概率； （2）求一次函数y=kx+b的图象经过
二、三、四象限的概率.
【解析】（1）因为－1，－2，3中有两个负数，故k 为负数的概率为 2 ；
3
（2）由于一次函数y=kx+b的图象经过二、三、四象 限时，k，b均为负数， 所以在画树形图列举出k、b取值的所有情况后，从 中找出所有k、b均为负数的情况，即可得出答案．
解：（1）P（k为负数）=
2 3
第二十五章 概率初步 复习课件
知识框架
必然事件
事 件 不可能事件
随机事件
随机事件 与概率
定义
刻画随机事件发生可能 性大小的数值
概率
计算
P(A) m (m为试验总结果数， n
概
公式
n为事件A包含的结果种数）
率
初
直接列举法
步 列举法求
列表法
适合于两个试验因素或分两步进
概
率 画树状图法
适合于三个试验行因素或分三步进
子中摸出一个球，两次摸到的球颜色相同的概率是( A )
A.
2 5
B.
3 5
C.
8 25
D.1 3
25
考点三 用频率估计概率
例4 在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概 率，下列说法正确的是（ D ） A.频率就是概率 B.频率与试验次数无关 C.概率是随机的，与频率无关 D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
用频率估 计概率
频率与概 率的关系
行 在大量重复试验中，频率具有 稳定性时才可以用来估计概率
要点梳理
一、事件的分类及其概念
事件
确定事件 随机事件
必然事件 不可能事件
1.在一定条件下必然发生的事件，叫做必然事件； 2.在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件； 3.在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随
机事件.
二、概率的概念 1.概率： 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画 其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概 率，记作P（A）.
2.
0 概率的值
不可能事件
事件发生的可能性越来越小 事件发生的可能性越来越大
1 必然事件
三、随机事件的概率的求法
1.①当实验的所有结果不是有限个，或各种可能结果 发生的可能性不相等时，我们用大量重复试验中随机 事件发生的稳定频率来估计概率.