12-4 图示边长为a 的正方形铰接结构，各杆的E 、I 、A 均相同，且为细长杆。

试求达到临界状态时相应的力P 等于多少？若力改为相反方向，其值又应为多少？N BB CN B AB CC D解：（1）各杆的临界力222..222cr BD cr EI EI P P aaππ===外（2）求各杆的轴力与P 的关系。

由对称性可知，外围的四个杆轴力相同，AB BC CD DA N NN N ===。

研究C 、B 结点，设各杆都是受拉的二力杆，则与结点相联系的杆施与背离结点指向杆内的拉力，C 、B 结点受力如图所示。

第一种情况：C:)02450CB CB X P N cos N =→--=→=-∑ 压杆B:()02450BD BC BD BC Y N N cos N P =→--=→==∑拉杆 令2,.2=C B cr C B cr EI N P P P aaπ=-==↔外第二种情况： )C B P N =拉杆 ()-BD BC N P ==压杆22.22-==22BD BC cr BD EI EI N P P P aaππ===↔12-6 图示矩形截面松木柱，其两端约束情况为：在纸平面内失稳时，可视为两端固定；在出平面内失稳时，可视为上端自由下端固定。

试求该木柱的临界力.解：（1）计算柔度：①当压杆在在平面内xoz 内失稳，y 为中性轴。

0.57101.04xz xz yl i μλ⋅⨯===②当压杆在出平面内xoy 内失稳，z 为中性轴。

27242.490.200xy xy zli μλ⋅⨯===③λ越大，压杆越容易失稳，故此压杆将在在平面内先失稳。

m ax(.)242.49xz xy λλλ==（2）松木75242.49P λ=<，故采用欧拉公式计算P cr 222112(0.110)(0.1200.200)40.28242.49cr cr E P A Aπσλπ=⋅=⋅⨯⨯=⨯⨯=N kN12-7铰接结构ABC 由具有相同截面和材料的细长杆组成。

若由于杆件在ABC 平面内失稳而引起破坏。

试确定荷载P 为最大时的θ角。

（20πθ<<）解：（1）研究B 结点求两杆轴力与P 的关系：设两杆都是受拉的二力杆，则与结点相联系的杆施与背离结点指向杆内的拉力， B 结点受力如图所示。

列平衡方程sin 0sin ()cos 0cos ()0BC BC BA BA X P N N P P N N P Y θθθθ⎧=+==-⎧⎧⎪→→⎨⎨⎨+==-=⎩⎩⎪⎩∑∑压杆压杆（2）求两细长压杆的临界荷载 设AB 长度为a ，则BC长为 222,,222,3cr cr AB cr BC EI EI EI P P P laaπππ=→==（3）当两压杆的轴力同时到达各自临界力时，P 为最大值222,22222,22=cos 3sin cos 1==3tan 18.43cos =sin 33sin cr AB BA cr BC BA EI EIP N P P a a a a EI EI P N P P a a ππθθθθθθππθθ⎧⎧==-=⎪⎪⎪⎪→→→=⎨⎨⎪⎪==-=⎪⎪⎩⎩12-10 图示压杆，材料为Q235钢，横截面有四种形式，其面积均为23102.3mm ⨯，试计算其临界力.(c)解：（1）矩形：①计算柔度：23632 3.210103.2100.04b b --=⨯⨯=⨯→=0.530.53129.9xz xz yl i μλ⋅⨯⨯====129.9>123xz λ=矩形截面压杆属于细长压杆，采用欧拉公式计算其临界力 ②计算其临界力 22113222103,210N 374.34kN 129.9cr E P A ππλ-⨯⨯=⋅=⨯⨯=（2）正方形截面：①计算柔度：23633.210103.2100.057a a --=⨯⨯=⨯→=0.530.5391.86xz xz yl i μλ⋅⨯⨯====6091.86<123xz λ<=正方形截面压杆属于中柔度杆，采用经验公式计算其临界力 ②采用直线经验公式计算其临界力63()(304 1.1291.86)10 3.210N 643.57kN cr cr P A a b A σλ-=⋅=-⋅=-⨯⨯⨯⨯=（3）圆形截面： ①计算柔度：23633.210103.2100.0644dd π--=⨯⨯=⨯→=0.530.5394.000.06444xz xz yl d i μλ⋅⨯⨯====6094<123xz λ<=圆形截面压杆属于中柔度杆，采用经验公式计算其临界力 ②采用直线经验公式计算其临界力63()(304 1.1294)10 3.210N 635.9kN cr cr P A a b A σλ-=⋅=-⋅=-⨯⨯⨯⨯=（3）圆环形截面： ①计算柔度：2222363(1)(10.7) 3.210103.2100.0894m 44D D D ππα---=-=⨯⨯=⨯→=0.530.5354.99xz xz yl i μλ⋅⨯⨯====54.99<60xz λ=圆环形截面压杆属于粗短杆，临界应力为屈服极限 ②计算其临界力()()63235103.210N 752kN cr cr s P A A σσ-=⋅=⋅=⨯⨯⨯=12-16 图示结构中，横梁AB 由14号工字钢制成，材料许用应力[]160M Pa σ=，CD 杆为Q235轧制钢管，2636d D ==mm,mm 。

试对结构进行强度与稳定校核。

N 图（k N ）+24M 图（k m ）12-解:（1）求反力：取ABC 杆为研究对象，受力如图所示。

()0sin 45122033.941kN ADC DC mN N =→-+⨯=→==∑F（2）内力分析：ABC 杆的AC 段发生拉弯组合变形，CB 段发生弯曲；CD 杆为轴向压缩杆件。

内力图如图所示。

（3）对压杆进行稳定性校核。

①求压杆的柔度 127.39liμλ===②Q235轧制钢管为a 类杆件，查表求折减系数(0.4450.451)(0.451)(128127)(127.3912744866φφ-÷-=-÷-→= ③采用稳定实用计算法，校核压杆的稳定性3222410136.64M Pa []160M Pa 260.448660.0361-436NPa Aσπφ⨯==≤=⎡⎤⨯⨯⎢⎥⎣⎦（）故，压杆的稳定性足够。

（4）对梁ABC 进行强度计算梁的C 的左截面为拉弯组合变形的危险面，其上距中性轴最远的上边缘点位危险点。

查表可知14号工字钢的2321.516cm,102cm z A W ==。

则梁的最大拉应力为：33m ax m ax 4624101210Pa 11.154117.647M Pa 128.8M Pa 21.5161010210zM N AW σ--⨯⨯=+=+=+=⨯⨯故，ABC 梁的的强度足够。

12-17 图示两端铰支格构式压杆，由四根Q235钢的70×70×6的角钢组成，按设计规范属于b 类截面，杆长l =5m,受轴向压力P =400kN ，材料的强度设计值f =215MPa,试求压杆横截面的边长a 。

400k解：（1）查表70×70×6角钢的2408.16cm,37.77cm,1.95cm z A I Z ===（2）压杆由四根Q235钢的组成设计规范属于b 类截面。

（2）由稳定条件可知： 311-461400100.57048.161021510P A fφφ⨯≥=→≥⨯⨯⨯⨯（）1(0.5750.568)(0.570.568)(9798)(98)0.44866λφ-÷-=-÷-→=b 类截面，查表可知197.71λ≤ （3）压杆两端铰支μ=1 111111597.71005117m lii i μλ⨯==≤→≥.15117cm 13.185cm i a ≥→≥.因等边角钢边长为70mm ，取=14cm a ，便于安装施工。

补充：12-1：图示压杆，材料为A 3钢，MPa 310210⨯=E 。

在在平面内，两端铰支，出平面内两端固定8.0=μ。

计算此压杆的临界力P cr 。

习题12-3图解：（1）计算柔度：①当压杆在在平面内xoy 内失稳，为z 中性轴。

60.8612080.021=⨯=⋅=zxy xy i lμλ②当压杆在出平面内xoz 内失稳，为y 中性轴。

56.1381204.028.0=⨯=⋅=yxz xz i lμλ③λ越大，压杆越容易失稳，故此压杆将在在平面内先失稳。

56.138).max(==xy xz λλλ（2）A 3钢的56.138100<=P λ，故采用欧拉公式计算P lj 222362(2101010)(0.0800.040)345.46138.56cr cr E P A Aπσλπ=⋅=⋅⨯⨯⨯=⨯⨯=N kN12-2解：（1kN N N mCD CD A487.170)5.135.4(7.9sin 0)(=→=++⨯+-→=∑αF（2）求压杆的柔度4067.931210100cos /5.113=⨯⨯==-αμλil（3）由压杆的柔度查表求折减系数344.0)10067.93()10090()3.0()3.037.0(=→-÷-=-÷-ϕϕ（4）采用稳定实用计算法，校核压杆的稳定性M P a M P a Pa AN10][08.51.0344.010487.1723=≤=⨯⨯=σϕ故，压杆的稳定性足够。

12-3 分析：折半法，一般初设φ=0.5。

q=50kN/mq=50kN/mCB A解:（1）求反力：取BC 杆为研究对象，受力如图所示。

kN N N F m B B C 33.2130214.25022.30)(2=→=⨯⨯+⨯-→=∑（2）μ=1，设φ=0.5,则m d PA d2222.010115.01033.213][41631121=→⨯⨯⨯=≥=σϕπ取10555.04222.0222.011===→=μm i m d故 500555.0771.2111≈⨯==i l μλ查法得：767.0'1=ϕ(2) '1ϕ 与φ1相差甚远,折中取半。

取：65.02767.05.02'112=+=+=ϕϕϕm d PA d1949.0101165.01033.213][42632222=→⨯⨯⨯=≥=σϕπ取104875.041949.01949.022===→=μm i m d5722≈=i l μλcrP d =20cm再查表采用内插法7.0)0767668.0(:)767.0()5060(:)5057('2'2=→--=--ϕϕ(3) '2ϕ与 2ϕ 还相差那么远，再折中。