压杆稳定1. 图示结构，AB 为刚性杆，其它杆均为直径10 mm d =的细长圆杆，弹性模量200 GPa E =, 屈服极限s 360 MPa σ=，试求此结构的破坏载荷F 值。

解：12.37 m, sin 26H α⎛⎫== ⎪⎝⎭,0.169()Cy Dy F F F =-=↓,N1N4N2N30.507F F F F F ==-=-=由杆1，4，N11s 0.507F F A σ==，s 155.8 kN 0.507AF σ==由杆2，3，2N2cr 2π0.673 kN EIF F l ===, cr 2 1.33 kN 0.507F F ==结构破坏载荷 1.33 kN F =2. 图示桁架由5根圆截面杆组成。

已知各杆直径均为30 mm d =， 1 m l =。

各杆的弹性模量均为200 GPa E =，p 100λ=，061λ=，直线经验公式系数304 MPa a =， 1.12 MPa b =，许用应力[]160 MPa σ=，并规定稳定安全因数st []3n =，试求此结构的许可载荷[]F 。

解：由平衡条件可知杆1，2，3，4受压，其轴力为N1N2N3N4N F F F F F =====杆5受拉，其轴力为N5F F = 按杆5的强度条件：N5[], []113 kN F F A Aσσ≤≤= 按杆1，2，3，4的稳定条件 p 133λλ=> 由欧拉公式 cr 78.48 kN F =crst N[]F n F ≥ 37.1 kN F ≤ ， []37.1 kN F =3. 钢杆和铜杆截面、长度均相同，都是细长杆。

将两杆的两端分别用铰链并联，如图，此时两杆都不受力。

试计算当温度升高多少度时，将会导致结构失稳？已知杆长 2 m l =，横截面积220 cm A =，惯性矩440 cm z I =；钢的弹性模量s 200 GPa E =，铜的弹性模量c 100 GPa E =，钢的线膨胀系数6s 12.510α-=⨯℃-1，铜的线膨系数6c 16.510α-=⨯℃-1。

m解：铜杆受压，轴力为Nc F ，钢杆受拉，轴力为Ns F ，Nc Ns N F F F ==由协调条件 s c l l ∆=∆ 即 N N s c s c F l F ltl tl E A E Aαα∆+=∆- N c s s c 11 ()F t A E E αα⎛⎫∆=+ ⎪-⎝⎭铜杆为细长杆 2c cr 2π98.7 kN E IF l==当 Nc cr F F =时失稳, 此时 185 C t ∆=4. 图示矩形截面杆AC 与圆形截面杆CD 均用低碳钢制成，C ，D 两处均为球铰，材料的弹性模量200 GPa E =，强度极限b 400 MPa σ=，屈服极限s 240 MPa σ=，比例极限p 200 MPa σ=，直线公式系数304 MPa a =, 1.118 MPa b =。

p 100λ=，061λ=，强度安全因数[] 2.0n =，稳定安全因数st [] 3.0n =，试确定结构的最大许可载荷F 。

解：(1) 由梁AC 的强度2max maxmax 2, , []36 97.2 kNz zM F bh M W W F σσ===≤≤得 (2) 由杆CD 的稳定性crp cr N N 1200, 15.50 kN, ,3315.50 kN, []15.50 kNCD CD F F F F F F F λλ=>==≥≤=5. 图示两端固定的工字钢梁，横截面积226.1 cm A =，惯性矩41 130 cm z I =，493.1 cm y I =,长度 6 m l =，材料的弹性模量200 GPa E =，比例极限p 200 MPa σ=，屈服极限s 240 MPa σ=，直线公式的系数304 MPa a =， 1.12 MPa b =，线膨胀系数712510/l α-=⨯℃，当工字钢的温度升高10t ∆=℃时，试求其工作安全因数。

解：p 158.799.3λλ=>=由欧拉公式，可得临界应力cr 78.2 MPa σ=温度应力 25 MPa l tE σα=∆= 工作安全因数 crst 3.13n σσ==6. 图示正方形平面桁架，杆AB ，BC ，CD ，DA 均为刚性杆。

杆AC ，BD 为弹性圆杆，其直径20 mm d =，杆长550 mm l =；两杆材料也相同，比例极限p 200 MPa σ=, 屈服极限s 240 MPa σ=，弹性模量200 GPa E =，直线公式系数304 MPa a =, 1.12 MPa b =，线膨胀系数612.510/l α-=⨯℃，当只有杆AC 温度升高，其他杆温度均不变时，试求极限的温度改变量cr t ∆。

解：由平衡方程可得：N N N AC BD F F F == (压) 由变形协调方程，并注意到小变形， 有ACBD ΔΔ即 N N AC BD l F l F ltl EA EAα∆-=又由 p 11099λλ=>=, 知2cr 2πEIF l=令 N cr F F =, 得 22cr 2π130.58d t l α∆==℃7. 图示结构，已知三根细长杆的弹性模量E ，杆长l ，横截面积A 及线膨胀系数α均相同。

问：当升温t ∆为多大时，该结构将失稳。

解：由 N l F ltl EA α∆=， 可得 N l F tEA α=∆细长杆： 2cr 2π EIF l =当 N cr F F =时失稳 22πl EItEA lα∆= 得 22πl I t Al α∆=8. 图示结构ABC 为矩形截面杆，60 mm, 100 mm, 4 m b h l ===，BD 为圆截面杆，直径60 mm d =，两杆材料均为低碳钢，弹性模量200 GPa E =, 比例极限p 200 MPa σ=,屈服极限s 240 MPa σ=，直线经验公式为cr (304 1.12) MPa σλ=-，均布载荷 1 kN/m q =，稳定安全因数st []3n =。

试校核杆BD 的稳定性。

解：(1) 由协调方程，Δcos45BDB l f =得 34N cos 45(2)25(2)3844845BD F l l q l EI EI - 解得 N 7.06 kN BD F = (2) 杆BD ：p 377100λλ=>= 由欧拉公式：cr 39 kN F = cr st st N 5.56[]BDFn n F ==>，安全。

BDAC9. 正方形截面杆，横截面边长a 和杆长l 成比例增加，它的长细比有4种答案： (A)成比例增加； (B)保持不变； (C)按2(/)l a 变化； (D)按2(/)a l 变化。

答：B10. 非细长杆如果误用了欧拉公式计算临界力，其结果比该杆的实际临界力 。

答：大。

11. 两根细长压杆，横截面面积相等，其中一个形状为正方形，另一个为圆形，其它条件均相同，则横截面为 的柔度大，横截面为 的临界力大。

答：圆形；正方形。

12. 在水平面ABC 上用同材料的三根杆支持F 。

A 、B 、C 、D 均为铰链节点。

铅直力F 的作用线恰好通过等边三角形ABC 的形心G 。

已知DG AB h ==。

三杆截面均为圆形，直径为d ，材料的弹性模量为E 。

适用欧拉公式的临界柔度是90。

已知20h d =，试确定最大力F 。

解：2sin 60 3BE BE h BG BD =︒=====1234N N , 3sin , N N N N F F F F F DBG F F ===∠===所以434422π92.490,64π0.03π ()d Ed EdF h h λ23==>==⨯=所以13. 图示结构，由圆杆AB 、AC 通过铰链联结而成，若二杆的长度、直径及弹性模量均分别相等，BC 间的距离保持不变，F 为给定的集中力。

试按稳定条件确定用材最省的高度h 和相应的杆直径D 。

（设给定条件已满足大柔度压杆的要求。

） 解：杆达到临界状态时，cr 22πEIF h l 2=+， 此时之F 值为：4222πEI F h l 23==+可求得：4D =(a)二杆之总体积为：V == (b)222d 0, 5, d 2V lh l h h h ==+=得所以 (c) 将(c)式代入(a)式得， 1.303D =14. 长方形截面细长压杆，/1/2b h =；如果将b 改为h 后仍为细长杆，临界力cr F 是原来的多少倍？有4种答案：(A) 2倍； (B) 4倍； (C) 8倍； (D) 16倍。

答：C15. 压杆下端固定，上端与水平弹簧相连，如图所示，则压杆长度因数μ的范围有4种答案：(A)μ<0.5； (B)0.5μ<<0.7； (C)0.5μ<<2； (D)μ<2。

答：C16. 圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端约束保持不变，若将压杆的直径缩小一半，则其临界力为原压杆的 ；若将压杆的横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临界力为原压杆的 。

答：1π;163。

17. 试导出具有初始挠度0sin(π/)y a x l =的图示压杆的挠度曲线方程()y x 。

证：2220() , , sin(π/)FEIy F y y k y k y k a x l EI''''=-+=+=-令 22sin(π/)sin()cos()π/1a x l y A kx B kx k l 2''=++-由0, 0; 0, , 0; 0x y B x l y A ====== 得 22sin(π/)πal F x l y EI l F2=-x18. 某结构失稳时，挠曲线如图(a)所示，即上端可水平移动但不能转动，下端固定，试推导临界力欧拉公式及挠曲线方程。

证：222e cr cr e cr, [], M F y F k M y k y k y EI EI F -''''==+= ecrsin()cos()M y A kx B kx F =++由 ecr0, 0, 0, 0, M x y y A B F '=====-e cr 2cr [1cos()]π, , 0, sin()0, kx M EI y x l y kl F F l2-'=====[1cos(/)], 2x l x l y y δπδ-==,=。

19.的临界载荷。

解：给以微干扰，由其平衡状态求cr Fcr cr 0 22B k l klM F F δδ'∑==,=得20. 图示刚性杆，由弹簧支持，左右弹簧的刚度分别为1k 、2k ，试导出它的临界载荷。