2017 年 6 月 第 34 卷 第 2 期( 总第 100 期)
【教学改革】
吕梁教育学院学报 Journal of Lvliang Education Institute
Jun． 2017 Vol． 34 No． 2( Sum． No． 100)
微积分中值定理及其应用
陈杰
( 苏州旅游与财经 高等职业技术学校，江苏 苏州 215104)
连续，则在积分区间［a，b］上至少存在一个点 ξ，使
下式成立:
b
∫ f( x) dx = f( ξ) ( b － a) a
有假设条件: f( x) 在闭区间［a，b］上函数连续，设函
数 f( x) 最大值及最小值分别为 M 和 m，即: m≤f( x)
≤M． 将上式同时在区间［a，b］内积分，可得积分中
参考文献: ［1］柯希均． 微分学在经济 分析中的 几点应 用［J］． 科技资
讯，2010( 14) : 179． ［2］龚友运． 微分学在经济 分析中的 应用浅析［J］． 科技资
讯，2010( 15) : 182 － 184． ［3］胡乔林． 管窥微分学在经济学中的应用［J］． 中国成人教
育，2010( 17) : 188． ［4］郜欣 春，贾 仙 勤． 微 分 学 在 微 观 经 济 学 中 的 几 处 应 用
比价格函数曲线的点斜率更平缓) ，则这个交点处
便是最优定价点。若把需求量与供给量都表示为价
格函数，则可以利用积分中值讨论资源剩余等经济
问题。
二、积分中值定理
微积分学说是继欧几里得几何学之后，数学理
论应用中最大的一个科学发现，它是联系着经济社
会的应用过程发展起来的。17 世纪末，人们为了理
解和解决社会现象问题( 尤其是物理力学问题和经
和行为者的最优理性选择，探讨了实现有限资源的最
优配置方案。微积分中值定理是研究经济最优选择
的根本方法，经济与数学具有天然的密切关联性，无
论是经济中静态数据的最优化理论，还是经济动态数
据的最优化理论中，微积分中值定理是最合适的经济
分析工具。人们在经济学中应用数学方法，对经济现
象予以定量描述，其研究深度日益增长。 假设以下经济函数，( 1) 产量函数 Q( x) ; ( 2) 收
－ －
f( a
a)
拉格朗日 ( Lagrange) 中值 定 理 曲 线 原 理 如 图 2 所
示。
பைடு நூலகம்
图 2 拉格朗日中值定理曲线
拉格朗日中值定理的几何意义: 当目标函数在 某个闭区间上连续，开区间上可导后，那么在这个函 数所表示的函数曲线上，必然一定至少存在一点，使 得该点的斜率切线与两个端点连线平行。罗尔中职 定理揭示了曲线与水平斜率的存在性，拉格朗日中 值定理揭示了函数切线与一般直线斜率相等的存在
值定理，即:
93
b
∫ m ≤ f( x) dx / ( b － a) ≤ M a
因为 m≤f( x) ≤M 是连续函数，由拉格朗日中值定
理，必存在一点 ξ，使得
b
∫ f( x) dx /( b － a) a b
∫ 即: f( x) dx = f( ξ) ( b － a) a
= f( ξ)
积分中值定理在现代经济管理的应用是广泛
间内任意两点的函数值都相等。因此函数在区间内
是一个常数。
拉格朗日中值定理给我们揭示了社会现象的必
然性存在性。对于非匀速直线运动的物体，在其任
意运动过程中，至少存在一个位置点( 或一个时刻)
的瞬时速度等于该过程中的平均速度。拉格朗日中
值定理从根本上证明了: 在自由经济交易中，经济利
益的获得效益是变动的，不完全都是增值的。从有
－ F( a)
=
F( x)
|
b a
牛顿-莱布尼茨公式给我们揭示了社会现象的必然
性存在性，找到了解决曲线长度、曲线围成的面积和
曲面围成的体积等问题的一般方法。牛顿 － 莱布尼
茨公式简化了定积分的计算过程，条件是只要知道
被积函数的原函数，就可以计算出定积分的精确值
或者是一定精度下的近似值。
( 三) 拉格朗日中值定理
92
b) ，使得:
f( b) g( b)
－ f( a) － g( a)
=
f'( ξ) g'( ξ)
柯西定理可以由一般曲线的参数方程证明，可
以理解为 f( x) 与另一函数曲线 g( x) 在( a，b) 上至
少存在一点 ξ，使得在该点处，f( x) 与 g( x) 曲线的切
线是平行的。柯西中值定理产生了微积分学基本定
济趋势问题) 创立了微积分学说。微积分学说极大
地推动了自然科学( 物理学、化学、天文学、生物学、
经济学和工程技术等) 各个分支科学的发展，并在
这些学科中越来越广泛的被实践应用。积分中值定
理用来表示曲边梯形的面积，可以推导平面曲线之
间图形面积、曲面面积和立体体积之间的关系。
积分中值定理: 若函数 f( x) 在闭区间［a，b］上
图 1 罗尔中值定理曲线
( x) 的极值费马点，由于 f( x) 在开区间( a，b) 内可导， 并且 f( x) 在 ξ 处可导，故可得结论: f'( ξ) = 0．
实践意义: 设有一段弧的两端点的函数值相等， 如果除两端点之外，各处都有不垂直于水平 x 轴的 切线，那么弧线上至少有一点，使得该点处的切线平 行于 x 轴。罗尔中值定理给我们揭示了许多物极必 反现象的必然性存在性。例如: 经济分析中的边际 分析法是把追加支出和追加收入相比较，计算二者 相等时的临界点，即投入资金所得到的利益与成本 输出相等时的临界点。构造函数为利润函数，如果 追求的目标是取得最大利润，那么当追加收入等于 所增加的支出时，这一经济目标就能够实现。
理“牛顿 － 莱布尼茨公式”，揭示了定积分或被积原
函数或者不定积分函数之间的逻辑关系。
牛顿 － 莱布尼茨公式的主要内容: 如果函数 f
( x) 在区间［a，b］上有定义，并且满足以下条件: ( 1)
在区间［a，b］上可积; ( 2) 在区间［a，b］上存在原函
数 F( x) ，则有
b
∫ f( x) dx = F( b) a
求关系［J］． 商场现代化，2007( 18) : 42． ［8］沈奇． 微积分及其在经济学中的应用［J］． 赤峰学院学报
( 自然科学版) ，2014( 24) : 6 － 7．
94
微积分中值定理的出现是一个科学逻辑典型代 表，其中聚集了众多数学爱好者和数学家的研究心 血，在数学发展史具有举足轻重的突出地位，它是自 然科学研究不可缺失的基础。
一、微分中值定理 微分中值定理可以揭示了函数关系的曲线必然 轨迹规律，是数学工具分析数据的基础工具，本文主 要以微 分 中 值 定 理 ( 罗 尔 ( Rolle) 定 理、拉 格 朗 日 ( Lagrange) 定理、Cauchy 定理等) 一系列成果及定理 之间的关系为研究对象，利用它们来讨论一些社会 现象，包括对供需平衡的求解问题，以及最佳增值 效率的求解法等。 ( 一) 罗尔中值定理 若函数满足如下条件: ( 1) 在闭区间［a，b］上连 续; ( 2) 在开区间( a，b) 内可导; ( 3) f( a) = f( b) ，则 在［a，b］内至少存在一点 ξ∈( a，b) ，使得: f' ( ξ) = 0． 曲线原理如图 1 所示。 证明: 目标函数 f( x) 在［a，b］上连续，必然有最 大值和最小值，最大值和最小值分别用 m 与 M 表示。 如果有 M = m，则函数 f( x) 在闭区间［a，b］上即为为 常数，显然结论成立; 如果 M ＞ m，结合端点条件 f( a) = f( b) ，容易想到，在( a，b) 内至少有一个点 ξ，使 f ( x) 取得使得最大值 M 或最小值 m，从而使 ξ 成为 f
摘 要: 文章分析了微积分中值定理及其实践意义，围绕中值定理包含的内在关系，从微分中 值定理推广到积分中值定理，总结中值定理在社会应用中的效能估算等方面的具体推广应用，最后 给出经济学中应用中值定理的实践案例。
关键词: 微积分; 中值定理; 应用 中图分类号: O13 文献标识码: A 文章编号: 1672 － 2086( 2017) 02 － 0092 － 03
限理性、交易利润和交易增值的角度考虑，可以进一
步推导出 商 品 交 易 中，合 同 成 交 的 均 衡 条 件，即:
“经济———人”假说里的一般均衡，可以推广到现实
社会的广义均衡理性。应用拉格朗日中值定理，可
以揭示经济学中的成本边际定价法则，价格函数曲
线与边际成本函数曲线相交点( 边际成本函数曲线
的点斜率大于 0、或者边际成本函数曲线的点斜率
的，积分中值定理需要由边际函数的不定积分求解
出原经济函数，更重要的是由边际函数的定积分和
广义积分法则，求解出原经济函数曲线的点变动特
征。由于经济现象较难理解与掌握，积分中值定理
在经济分析中的重要地位，积分中值定理成为经济
数学的核心内容。例如: 在经济利润分析过程中，经
常会遇到假设目标函数的导数微分问题，求解这个
( 二) 柯西中值定理 假设有函数 f( x) 及 g( x) 满足: ( 1) 在闭区间 ［a，b］上连续; ( 2) 在开区间( a，b) 内可导; ( 3) 满足 g( a) ≠g( b) 且 g'( x) ≠0，则至少存在一点 ξ∈( a，
收稿日期: 2017 － 04 － 08 作者简介: 陈杰( 1980 － ) ，男，江苏丹阳人，苏州旅游与财经高等职业技术学校讲师，硕士，研究方向: 数学教育教学。
拉格朗 日 ( Lagrange) 中 值 定 理 又 称 为 拉 氏 定
理，是罗尔( Rolle) 中值定理的推广，同时也是柯西