“一线三等角”基本图形解决问题三角形相似在整个初中数学中有着重要的地位，在学习三角形相似形时，我们从复杂图形中分离出基本数学模型，对分析问题、解决问题有化繁为简的效果。
在近几年的中考题中，经常可以看到“一线三等角”的数学模型，所谓“一线三等角”是指在一条直线上出现了三个角相等。
所以，只要见到一条直线上出现了三个等角，往往都存在这样的模型，也会存在相似三角形，当出现了有相等边的条件之后，相似就转化为全等了，综合性题目往往就会把相似和全等的转化，作为出题的一种形式，需要大家注意。
本文将重点对这一基本图形进行探讨。
通过对题目的有效分解，打破同学们对综合题的畏惧心理，让同学们加深对于题目条件的使用：条件用完，即使题目没有求解完毕，也得到相应的分数，提高问题解决的能力，在这个师生共同探讨的过程中鼓励学生尝试解题，并加强题后反思，培养他们解题的能力。
一、知识梳理：（1）四边形ABCD是矩形，三角板的直角顶点M在BC边上运动，直角边分别与射线BA、射线CD交于E、F，在运动过程中，△EBM∽△MCF.（2）如图1：已知三角形ABC中，AB=AC,∠ADE=∠B,那么一定存在的相似三角形有△ABD∽△DEC.如图2：已知三角形ABC中，AB=AC,∠DEF=∠B,那么一定存在的相似三角形有△DBE∽△ECF.（图1）（图2）二、【例题解析】【例1】(2014四川自贡）阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB 上的强相似点．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD 的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．【练习】1、已知矩形ABCD中， AB=3，AD=2，点P是AB上的一个动点，且和点A,B 不重合，过点P作PE垂直DP，交边BC于点E,设,PA=x，BE=y，求y关于x的函数关系式，并写出x 的取值范围 .2、如图，已知正方形ABCD，将一块等腰直角三角尺的锐角顶点与A重合，并将三角尺绕点旋转，当M点旋转到BC的垂直平分线PQ上时，连接ON，若ON=8，求MQ的长.3. 如图，在矩形ABCD中，AB=m(m是大于0的常数)，BC=8,E为线段BC上的动点（不与BC 重合）.连接DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x,BF=y,(1)求y关于x的函数关系式（2）若m=8，求x为何值时，y有最大值，最大值是多少（3）若12ym，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少【例2】等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB、AC 交于点E、F.（1）如图1，当点P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；（2）如图2，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）如图3，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.图1 图2 图3分析过程：（1）△EPF 为等边三角形. （2）设BP=x ，则CP ＝6－x. 由题意可 △BEP2x . △CFP2)x -.△ABC的面积为设四边形AEPF 的面积为y. ∴y =28x 2(6)2x --=2+-自变量x 的取值范围为3＜x ＜6. （3）可证△EBP ∽△PCF.∴BP BECF CP=.设BP=x ， 则 (6)8x x -=. 解得 124,2x x ==.∴ PE 的长为4或【练习】.如图，在△ABC 中，AB =AC =5cm ，BC =8，点P 为BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点P 作射线PM 交AC 于点M ，使∠APM =∠B ； （1）求证：△ABP ∽△PCM ；（2）设BP =x ，CM =y ．求 y 与x 的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （3）当△APM 为等腰三角形时，求PB 的长．（4) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．【例3】在ABC ∆中，O BC AC C ,3,4,90===∠o是AB 上的一点，且52=AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q ，（不与点B,C 重合），已知AP=2，求CQ【练习】在直角三角形ABC 中，D BC AB C ,,90==∠o是AB 边上的一点，E 是在AC 边上的一个动点，（与A,C 不重合），DF DE DF ,⊥与射线BC 相交于点F. (1)、当点D 是边AB 的中点时，求证：DF DE = (2)、当m DBAD=，求DF DE 的值A B P【例4】如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A(﹣3，0)，B ，C(0，﹣3)．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC 的面积为S ，求S 的最大值并求出此时点P 的坐标；(3)设抛物线的顶点为D ，DE ⊥x 轴于点E ，在y 轴上是否存在点M ，使得△ADM 是直角三角形若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．答案：(1)y=x2+2x ﹣3；(2)S 有最大值827，点P 的坐标为（23-，415-）； (3)M 的坐标为（0，23）或（0，27-）或（0，﹣1）或（0，﹣3）. 课后作业：1. 已知：如图，在△ABC 中，5==AC AB ，6=BC ，点D 在边AB 上，AB DE ⊥，点E 在边BC 上．又点F 在边AC 上，且B DEF ∠=∠． (1) 求证：△FCE ∽△EBD ； (2) 当点D 在线段AB 上运动时，是否有可能使EBD FCE S S ∆∆=4．如果有可能，那么求出BD 的长．如果不可能请说明理由．2. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上一点，且BP =2，将一个大小与∠B 相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P 点转动，使角的两边始终分别与AB 、AC 相交，交点为D 、E 。
（1）求证△BPD ∽△CEP（2）是否存在这样的位置，△PDE 为直角三角形若存在，求出BD的长；若不存在，说明理由。
3. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上的一个动点(与B 、C 不重合)，PE ⊥AB与E ，PF ⊥BC 交AC 与F ，设PC =x ，记PE =1y ，PF =2yPEAB FC PE AB D A B CD E F（1）分别求1y 、2y 关于x 的函数关系式（2）△PEF 能为直角三角形吗若能，求出CP 的长，若不能，请说明理由。
4. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上的一个动点(与B 、C 不重合)，PE ⊥AB 与E ，PF ⊥BC 交AC 与F ，设PC =x ，△PEF 的面积为y（1）写出图中的相似三角形不必证明；（2）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）若△PEF 为等腰三角形，求PC 的长。
5. 已知在等腰三角形ABC 中，4,6AB BC AC ===，D 是AC 的中点， E 是BC 上的动点（不与B 、C 重合），连结DE ，过点D 作射线DF ，使EDF A ∠=∠，射线DF 交射线EB 于点F ，交射线AB 于点H . （1）求证：CED ∆∽ADH ∆； （2）设,EC x BF y ==. ①用含x 的代数式表示BH ；②求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的定义域.6. 已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2．（1）如图8，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ． ①求证；△ABP ∽△DPC ②求AP 的长．（2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE ＝1时，写出AP 的长（不必写出解题过程）．CPE AB FCB答案： 1. 解：（1）∵AB =AC ∴∠B =∠C∵∠BED +∠DEF =∠C +∠EFC =90°又∵B DEF ∠=∠∴∠BED =∠EFC∴△FCE ∽△EBD （2）∵BD =x ，BE =x 35，x EC 356-= ∵△FCE ∽△EBD ∴2)(BDEC S S BED FEC =∆∆若EBD FCES S ∆∆=4∴4)356(2=-xx∴1118=x ∴31136356>=-x ∴BD 不存在 2. 解：（1）∵AB =AC ∴∠B =∠C∵∠DPC =∠DPE +∠EPC =∠B +∠BDP ∴∠EPC =∠BDP ∴△ABD ∽△DCE （2）∵∠DPE =∠B ≠90°若∠PDE=90°，在Rt△ABH 和Rt△PDE 中∴cos ∠ABH =cos ∠DPE =53==PE PD AB BH ∴53==PC BD PE PD∵PC =4 ∴512=BD若∠PED=90°在Rt△ABH 和Rt△PDE 中 ∴cos ∠ABH =cos ∠PED =53==PD PE AB BH ∴35==PC BD PE PD ∵PC =4 ∴5320>=BD （舍去） 综上所述，BD 的长为512CP EABDH CP EA BDHEA F3. 解：（1）52454)6(541+-=-=x x y 、x y 342= （2）∵∠FPE =∠B ≠90°若∠PFE =90°，在Rt△ABH 和Rt△PFE 中 ∴cos ∠ABH =cos ∠FPE =53==PE PF AB BH ∴5312=y y ∴535245434=+-x x ∴1727=x 若∠PEF =90°，在Rt△ABH 和Rt△PFE 中 ∴cos ∠ABH =cos ∠FPE =53==PE PF AB BH ∴3512=y y ∴355245434=+-x x ∴3=x 4. 解：（1）△PEB ∽△EPC（2）∵PC =x ∴x PF 34=，)6(54x PE -=，)6(251654x EP EH -== ∴)6(7532)6(2516342121x x x x EH PF y -=-⋅⋅=⋅⋅=即x x y 256475322+-=)30(≤<x （3）当PE =PF 时，△EPC ≌△PEB ，PC =BE =x ，536=-x x ∴49=x 当PE =EF 时，x PF PH 3221==，cos ∠EPH =cos B ，53)6(5432=-x x∴43108=x当FE =PF 时，)6(5221x EP PM -==， cos ∠FPM =cos B ，5334)6(52=-x x ∴2=x 综上所述，PC 的长分别为49=x 、43108、25. 解：（1）∵AB BC =,∴A C ∠=∠∵CDE EDF A H ∠+∠=∠+∠又EDF A ∠=∠,∴CDE H ∠=∠CED ∴∆∽ADH ∆（2）①∵CED ∆∽ADH ∆，∴CE CDAD AH= ∵D 是AC 的中点，6AC =，∴3AD CD ==，又 ∵,4CE x AB ==∴当H 点在线段AB 的延长线上时，334x BH =+，∴94BH x=- 当H 点在线段AB 上时，334x BH =-，∴94BH x=-②过点D 作DG ∥AB ,交BC 于点GCPEA BFH CPE AB F G H M∴12DG CG CD AB BC AC ===，∴2,2DG BG == ∴当H 点在线段AB 的延长线上时，∴BH BFGD GF=，∴9422y x y -=-∴18890924x y x x -⎛⎫=<< ⎪-⎝⎭当H 点在线段AB 上时，∴BH BFGD GF=，∴9422yx y -=+ ∴81894924x y x x -⎛⎫=≤< ⎪-⎝⎭。