矩阵的对角化
（李体政 徐宗辉）
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教学目标与要求
通过学习，使学生明白为什么要进行矩阵的对角化, 并且熟练掌握一般方阵对角化的方法, 特别是实对称矩阵的对角化方法.
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教学重点与难点
教学重点： 一般方阵可以对角化的条件及其对角化; 实对称矩阵的对角化. 教学难点： 求正交矩阵，使实对称矩阵化为对角矩阵.
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教学方法与建议
先引入相似矩阵的概念, 通过分析相似矩阵的性质, 让学生看到: 讨论方阵与一个对角矩阵相似(在本节中我们称为矩阵的对角化)的问题是非常有意义的, 从而提出矩阵对角化的两个核心问题:
(1) 对于任何一个方阵,是否一定可以对角化(即存在性问题); (2) 对于一个方阵,若可以对角化,那么如何进行对角化. 围绕这两个问题,完成本节课的教学任务.
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教学过程设计
1. 问题的提出
我们先引入相似矩阵的概念:
定义1: 对于阶数相同的方阵A 和B , 若存在可逆方阵P , 使得 1
P AP B -= 则称矩阵A 与B 相似, 记为A
B , 而对A 进行的运算1P AP -称为对A 进行的相似变换,
可逆方阵P 称为把A 变为B 的相似变换矩阵.
利用相似矩阵的定义及前面的知识不难得出如下结论: 性质1: 设 A B , 则有
1) A B =; 2) ()()r A r B =; 3)
I A I B λλ-=-, 从而具有相同的特征值.
说明: 性质1表明, 假如矩阵A 与B 相似, 则A 与B 具有相同的行列式、相同的秩以及相同的特征值. 而且很自然地推出, 若A 与一个对角矩阵Λ相似, 那么Λ的主对角线
元素恰好就是A 的n 个特征值. 考虑到对角矩阵是一类性质优良的矩阵, 我们进一步会问:
1) 是否对任何方阵A , 都存在相似变换矩阵P , 使1P AP -=Λ(对角矩阵)? 2) 对n 阶方阵A ,若存在相似变换矩阵P ,使1P AP -=Λ, 如何构造P ?
2. 一般方阵的对角化
我们先来讨论第二个问题. 设12(,,,)n A
diag λλλΛ=, 并设12(,,,)
n P p p p =可逆, 由1P AP -=Λ得 AP P =Λ, 即有
121122(,,
,)(,,
,)n n n Ap Ap Ap p p p λλλ=
由此可见, 只要取 12(,,,)n P p p p =的列为矩阵A 的n 个特征向量即可. 因为P
可逆, 所以12,,
,n p p p 应线性无关.
所以, 我们得出第一个问题的结论: 方阵A 要与一对角矩阵相似, 则A 必须要有n 个线性无关的特征向量. 进一步有下面的结论:
1) 由于方阵A 的不同特征值所对应的特征向量线性无关, 故有
结论1: 如果方阵A 的n 个特征值互不相同, 则A 可以对角化.
2) 若方阵A 的i n 重特征值与它所对应的线性无关的特征向量的个数i m 有i i m n =,即A 为非亏损矩阵,那么A 有n 个线性无关的特征向量, 故有
结论2: 若方阵A 为非亏损矩阵, 则A 可以对角化.
当i i m n <, 即A 为亏损矩阵,这时A 没有n 个线性无关的特征向量, 所以A 不能对角化. 综上所述有如下定理:
定理1： 方阵A 可以对角化的充要条件为A 是非亏损矩阵 说明:
1) 定理1表明,方阵A 的对角化问题最终归结为求方阵A 的特征值以及求特征值所对应的齐次线性方程组的基础解系的问题, 同时也给出了构造相似变换矩阵P 的具体方法.
2) 一般地, 我们不对非亏损矩阵进行一般性的讨论, 而仅仅讨论A 为实对称矩阵的情形, 这种情形比较简单,而且实际应用上较为常见.
3. 实对称矩阵的对角化
和一般的方阵相比, 实对称矩阵具有更好的性质:
性质2: 设方阵A 是实对称矩阵, 则有 1) A 的所有特征值均是实数;
2) A 的不同特征值所对应的特征向量不但线性无关, 而且相互正交; 定理2: 设A 为n 阶实对称矩阵, 则必有正交矩阵P , 使
1
12(,,
,)n P AP diag λλλ-=Λ=
其中 12,,,n λλλ为A 的特征值.
说明:
1) 定理2表明, 任何实对称矩阵A 都能对角化为一个对角矩阵Λ,而且Λ的主对角线元素就是A 的特征值, 同时说明A 是非亏损矩阵;
2) 定理2的证明采用数学归纳法易于学生理解; 3) 强调这里的矩阵P 不仅可逆,而且是正交矩阵.
这样对于任何实对称矩阵A ,第一问题已经得到了圆满的解决,下面通过举例说明如何求正交矩阵, 使实对称矩阵对角化,这也是本节刚开始提出的第二个问题.
4. 举例
例1 设 400031013A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
求一正交矩阵P , 使1P AP -=Λ.
解:
()()2
4
00
03
1240
1
3
I A λλλλλλ--=
--=----
由此得A 的特征值为 1232,4λλλ===.
当 12λ= 时, 解方程组()20I A x -= 得一个基础解系 ()10,1,1T
η=-, 将其规范化得
1T
p ⎛= ⎝
当234λλ== 时, 解方程组()40I A x -= 得一个基础解系 ()
2
1,0,0T
η=, ()3
0,1,1T
η=
由于23,ηη恰好正交, 所以只要规范化为
()21,0,0T
p =
, 3T
p ⎛= ⎝
因此
(
)123010,,00
P p p p ⎛
⎫
⎪ ⎪ ==
-
⎝
并且
1
(2,4,4)P AP diag -=
由这个例子可见, 对于实对称矩阵A , 求一个正交矩阵P , 使得1
P AP -=Λ的步骤如下:
第一步 求A 的特征值;
第二步 求对应于每个特征值的特征向量. 对单特征值, 只需将属于它的特征向量规
范化; 对r 重特征值,需要先求出属于它的r 个线性无关的特征向量, 然后对这r 个特征向量进行正交规范化, 这样就可以得到n 个两两正交的单位特征向量;
第三步 以正交规范化的特征向量为列组成矩阵, 它就是要求的正交矩阵P , 使
1P AP -=Λ, 这时Λ的主对角线元素只需按组成P 时特征向量的顺序依次将它们所属的
特征值排列即可.
说明: 由于方程组()0I A x λ-= 的基础解系不唯一, 所以由此得到的正交矩阵P 不是唯一的. 比如在例1中, 对应于12λ=的单位特征向量可取为
10,T
p ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭
对应于234λλ==的基础解系可取为 ()
2
1,1,1T
η=, ()3
1,1,1T
η=-
由于23,ηη不正交, 所以需先正交化, 取
22ξη=,
2333222,422,,,333T ξηξηξξξ⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭
.
再将23,ξξ规范化得
2T
p =
, 3T
p ⎛= ⎝
于是
0P ⎛
⎪
= ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭
练习1 设 220212020A -⎛⎫ ⎪
=-- ⎪ ⎪-⎝⎭
求一正交矩阵P ,使1P AP -=Λ.
练习2 问 133353664A -⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
能否对角化? 若可以, 求可逆矩阵P 和对角矩阵Λ.。