对角化矩阵的应用本科XXX学校毕业论文（设计）对角化矩阵的应用学生姓名学院专业班级学号指导教师2015年 4 月 25 日毕业论文（设计）承诺书本人郑重承诺：1、本论文（设计）是在指导教师的指导下，查阅相关文献，进行分析研究，独立撰写而成的.2、本论文（设计）中，所有实验、数据和有关材料均是真实的.3、本论文（设计）中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或机构已经撰写发表过的研究成果.4、本论文（设计）如有剽窃他人研究成果的情况，一切后果自负.学生（签名）：2015 年4月25日对角化矩阵的应用摘要矩阵对角化问题是矩阵理论中一个关键性问题.本文借助矩阵可对角化条件，可对角化矩阵性质和矩阵对角化方法来研究可对角化矩阵一些应用，包括求方阵的高次幂，反求矩阵，判断矩阵是否相似，求特殊矩阵的特征值，在向量空间中证明矩阵相似于对角矩阵，运用线性变换把矩阵变为对角矩阵，求数列通项公式与极限，求行列式的值.【关键词】对角化；特征值；特征向量；矩阵相似；线性变换Application of diagonalization matrixAbstractMatrix diagonalization problem is the key issue in the matrix theory. In this paper, by using matrix diagonalization conditions, diagonalization matrix properties and matrix diagonalization method we study some applications of diagonalization matrix, including for high-order exponent of matrix, finding the inverse matrix, matrix to determine whether it is similar, the eigenvalue of special matrix, in the vector space that matrix similar to a diagonal matrix, using linear transformation matrix is a diagonal matrix, for the series of general term formula and limit, the determinant of value.[Key words] The diagonalization; Eigenvalue; Feature vector; Similar; Linear transformation目 录引 言 01矩阵对角化 01.1矩阵对角化的几个条件 ................................................................................ 0 1.2对角化矩阵的性质 ........................................................................................ 2 1.3 矩阵对角化的方法 ........................................................................................ 4 2对角化矩阵的应用 (5)2.1求方阵的高次幂 ............................................................................................ 5 2.2反求矩阵 ........................................................................................................ 5 2.3判断矩阵是否相似 ........................................................................................ 6 2.4求特殊矩阵的特征值 .................................................................................... 6 2.5在向量空间中应用 ........................................................................................ 7 2.6在线性变换中应用 ........................................................................................ 7 2.7求数列通项公式与极限 .. (8)例]11[8 设两个数列{}{}n n q p ,都满足条件1,,21111==+=+=++q p q p q q p p n n n n n n ,则请求解nnn q p ∞→lim. (8)2.8求行列式的值 (10)2.9对角化矩阵在其他方面的应用 (12)参考文献 ............................................................................................................................ 14 致 谢 .. (15)引 言现如今，我们所提到的矩阵对角化其实质指的就是矩阵和对角阵存在相似的地方,其中我们学过的线性变换也是可对角化的,其原理是指在某一组基的作用下这个线性变换可以变为对角阵（或者可以说是在某一组基的作用下这个线性变换的矩阵是可对角化的）,当然刚刚提到的这个问题其实我们可以把它归类到矩阵是否可对角化的问题中去，因为其两者本身就是相辅相成的.当然本篇文章我们主要是研究和探索判定矩阵可对角化的诸多条件，以及我们如何去运用矩阵对角化的有关性质，来把将矩阵化为对角形的问题进行解决.与此同时，我们也在研究和探索中发现了它在其他方面一些重要的运用.1矩阵对角化我们所涉及的矩阵都是可以对角化的，其原理是指通过矩阵的一系列初等变换（指：行、列变换）后,就能够得到一个特殊的矩阵,其特殊性在于只有在其主对角线的数上不全为零，然而其他位置的数则是全部为零（那么这个特殊的矩阵就可以被我们称为对角阵）,这一整个的变换过程就被我们称为矩阵的对角化.当然值得我们注意的是，我们所学过的矩阵并非都能对角化的，这个是有条件限制的. 1.1矩阵对角化的几个条件引理]1[1 设n n P B A ⨯∈,,且,2A A =,2B B =BA AB =,则存在可逆矩阵P ,使B A ,可同时对角化.引理]2[2 如果n n n P diag P ⨯∈=),,,(21λλλ 的n 个对角元互不相同,矩阵n n P B ⨯∈,那么BP PB =当且仅当B 本身就是对角阵.因为任何一个幂等矩阵)(2A A A =一定相似于一个对角矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡000rE,所以任何一个对角矩阵都是能够进行谱分解的,即∑==ni i i A A 1λ,其中i λ是矩阵A 的特征值,矩阵i A 为幂等矩阵，那么是否任意有限个幂等矩阵的线性组合都可以对角化呢？有如下结论：定理]3[1 若,2211n n k k k A ∆++∆+∆=n k k k ,,,21 是n 个数,n ∆∆∆，，， 21是n 个幂矩阵,并且他们两两可替换,)(,j i i j j i ≠∆∆=∆∆,则矩阵A 可对角化.证明 若n ∆∆∆，，， 21是n 个幂矩阵,并且两两可换，则一定有一个可逆矩阵1P ,使得n∆∆∆，，， 21,可同时对角化.n n n n P D P P D P 111111--=∆=∆，，)(1是对角矩阵，，n D D , P D k D k D k P P D k P P D k P P D k P k k k A n n n n n n )()()()(2211112211112211+++++++=∆++∆+∆=---- ,由是对角矩阵，，n D D 1知 n n D k D k D k +++ 2211同样是对角矩阵,即矩阵A 为对角化的矩阵.定理]4[2 如果n n P A ⨯∈,21λλ，是它两个不相同的特征值,那么矩阵A 可对角化⇔一定有幂等矩阵∆,满足∆-+=)(121λλλE A .证明 必要性：如果A 是一个对角化的矩阵,那么就一定会有一个可逆的矩阵P ,满足∆=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-2211111E E AP P λλ是一个对角阵.()()()121211121211111211000-----⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+==P E P E P E P P E P P E P PAP A λλλλλλλλλ, 并且∆相似于2121212000∆=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---P E P P E P P E P , 若∆为幂矩阵,则一定有一个幂矩阵∆满足∆-+=)(121λλλE A .充分性：若存在∆使得∆-+=)(121λλλE A ,因为∆是幂矩阵,所以一定会有一个T ,满足T E T⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∆-210,()()T E E T T E E T T E T E A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=---2211112121121)0(0λλλλλλλλ, 因此，T E E T AT T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--221111λλ, 即矩阵A 为可对角化的.定理]5[3 设矩阵n n P A ⨯∈存在n 个不同的特征值,则对于矩阵n n P B ⨯∈,BA AB =,当且仅当矩阵B A ,同时可以对角化.证明 必要性 若矩阵A 存在n 个特征值,且这些特征值是互不相同的数，则矩阵A 为对角化的矩阵.设AP P T 1-=,其中),,,(21n diag T λλλ =,则ABP P BP APP P BP P T 1111)(----==T BP P AP BPP P )(111---==,即T 与BP P 1-是可以进行交换的,因此得知BP P 1-是对角矩阵,且矩阵B 也是为对角化的矩阵.充分性 如果矩阵B A ,可以同时进行对角化,那么一定存在一个可逆阵P ,使得P D P A 11-=,P D P B 21-=(其中为21D D ，对阵),BA P D PP D P P D D P P D D P P D PP D P AB =====------11211212112111,因此我们可以通过上述的一系列条件，来求出A 的特征值，且这是两个相互不同的数.从而我们得出了矩阵对角化的成立的条件：如果∆=∆2这个条件成立，那么就认为矩阵A 可对角化,否则就认为矩阵A 不能可对角化,其中)(/)(21λλλ--=∆E A . 1.2对角化矩阵的性质定理]6[4 设A 为数域P 上的一个n 阶的矩阵,且它为可对角化的，tλλλ,,,21 是A 的相互不同的特征根,则一定会有n 阶的t A A A ,,,21 满足(1)t t A A A A λλλ+++= 2211；(2)E E A A A t ,21=+++ 是单位矩阵；(3)i i A A =2；(4)j i A A j i ≠=,0,其中1-=T TB A i i . 证明 （1）如果A 可对角化,那么在数域P 上一定会存在一个可逆矩阵T ,并且它的阶数为n 阶，满足B AT T t =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-λλλ00211 , 其中i λ的重数为i s ,由于矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=110000111 tB λλ,将它记为t t B B B λλλ+++ 2211,因此，)()()(1111122111----++=+++==T TB T TB T B B B T TBT A t t t t λλλλλ ,将其记为t t A A A λλλ+++ 2211,其中1-=T TB A i ,所以t t A A A A λλλ+++= 2211.(2)如果每个i B 为对角形的幂矩阵,那么E B B B t =+++ 21,E TET T TB T TB T TB A A A t t ==+++=+++----11121121 ,故E A A A t =+++ 21.(3)如果1-=T TB A i i ,那么i i i i i i i i i i A T TB T TB T B TB T TB T TB T TB T TB A ======-------112111112))((,故i i A A =2.(4)当j i ≠时,0))((11111====-----T B TB T TB T TB T TB T TB A A j i j i j i j i ,0为零矩阵,故j i A A j i ≠=,0.例1 在数域P 上，若已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=6788152051115A 的三个特征根分别是3,2,1,则一定会有一个⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=211243132T ,满足B AT T =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-3000200011,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1111342561T ,将矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10030102001B , 记32132B B B ++,则，3211321132)32(A A A T B B B T TBT A ++=++==--其中1-=T TB A i i ,于是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=222222111,134412163912,2566151841012321A A A , 并且满足：(1)32132A A A A ++=；(2)E A A A =++321；(3))3,2,1(2==i A A i i ； (4)j i A A ji ≠=,0.可以通过一个比较具体的可对角化矩阵,很直观地反映上述所说的性质是成立的.1.3 矩阵对角化的方法1.3.1 运用矩阵初等变换的方法在数域P 上,一个n 维空间V ,研究和探讨它能否可以找到一组基，并且在此基的作用下，所有的矩阵都是对角化的矩阵；发现这种基存在时, 如何去探索它是一个线性代数学上相当重要的问题,可以利用矩阵的初等变换的方法来解决此问题.当发现矩阵A 不能够实现对角化的时候,同样可以经过相近的一系列变换后，化简出矩阵A ,并且能够判定它是否可以对角化.类似地,可有矩阵E Q Q Q T s s 111111-----= ,做如下的初等变换,则可以将矩阵A 化简为对角形矩阵B ,并且可以求得T 或由B 求A 的一系列特征值.1.3.2 求解齐次方程组的方法设矩阵A 是实对称矩阵,则求证交矩阵T 使得),,,(211n diag AT T λλλ =-的问题,一般的解法为： (1)求其特征值；(2)求其对应的特征向量；(3)写出矩阵T 及),,,(211n diag AT T λλλ =-.从而可以求出正交矩阵T ,可以避免了商的繁琐运算.定理]7[5 设A 是实对称矩阵,则有)1(21重，-n λλ,n αααβ，，，， 321对应于21λλ，,记)(1βL 由1β生成的一个空间,且)(32n L ααα，，， 由n ααα，，， 32生成的空间.2对角化矩阵的应用2.1求方阵的高次幂例2 设在数域P 上，有一个二维的线性空间V ,21ξξ，是这个线性空间V 的一组基,那么线性变换σ在21ξξ，这组基的作用下的矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0112A ,试通过上述给出的条件计算出矩阵k A .解 通过分析上述的条件，我们应该先计算线性变换σ在线性空间V 的另一组基21ηη，作用下的矩阵,令[][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2111,,2121ξξηη, 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡---10112111011211122111011221111, 易知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1011011k k,再运用上面得出的几个关系⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡---10112111011221111, 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11111210121112111101121-1-101-121kk k k k k k.2.2反求矩阵例3 设有一个实对称矩阵A ，且它的阶数为3阶，已知11321==-=λλλ，,1λ对应于T P )1,1,0(1=,求解A ．解 根据矩阵A 是3阶实对称矩阵的条件,我们可以推出矩阵A 可以对角化的结论,即得出矩阵A 是由三个线性无关的特征向量组成的结论,并且132==λλ对应于T X X X P ),,(321=,因为它和1P 正交,即003211=++=⋅X X X P P ,所以可以求出T T P P )1,1,0()0,0,1(32-==，,它们分别对应132==λλ.取⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==1000100011-01101010),,(321B P P P P ，, 则B AP P =-1,于是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==-010********210001212101000100011011010101PBP A . 2.3判断矩阵是否相似例4 请判断下述三个矩阵是否会相似⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=300020102,300120012,300020002321A A A . 解 我们可以很容易的得出三个矩阵321,,A A A 的特征值分别都是21=λ(二重),32=λ,其中矩阵1A 已经是对角阵,所以我们只需要进一步判断两个矩阵32,A A 是否都可以对角化.通过21=λ,0)2(2=-X A E ,可以推出T )0,0,1(1=α,因为21=λ,是一个二重的特征值,但是却只有一个特征向量与之所对应,那么我们可以推出矩阵2A 与矩阵1A 不相似的结论.通过21=λ,0)2(3=-X A E ,得出T T )0,1,0(,)0,0,1(21==ηη,通过32=λ，0)3(3=-X A E ,得出T )1,0,1(3=η,通过上述所推出的结论，我们可知矩阵3A 有三个线性无关的特征向量,即矩阵3A 与矩阵1A 这两个矩阵相似. 2.4求特殊矩阵的特征值例]8[5 设有一个实对称矩阵A ，并且它的阶数为n 阶，满足A A 22=,n r A r <=)(,求出A 的全部特征值．解 假设λ为矩阵A 的一个特征值,而我们令ξ为矩阵A 的特征向量,它对应于特征值λ，因为λξξ=A ,所以ξλλξξ22==A A ,又因为A A 22=,所以λξξξ222==A A ,即λλ22=,由此我们可以推出02或=λ,根据矩阵A 是实对称矩阵的这个条件,我们可以断定矩阵A 一定能够进行对角化,即⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0022~ B A ,与r A r =)(,所以A 的秩数就是2的个数,以及A 有r 个2和)(r n -个0的特征值. 2.5在向量空间中应用例]9[6在n 维的V 空间中,有一个复矩阵，并且它的阶数为n 阶，还有一个复数α,令{}{}0)(,)(21=-∈=∈-=βαβββαA E V W V A E W ,则矩阵A 相似于对角阵,并且{}021=⋂W W .证明 因为对于任意一个210W W X ⋂∈,则有βα)(0A E X -=和0)(0=-X A E α,所以0)(2=-βαA E .又因为发现矩阵A 相似于对角阵,所以我们可以推出0)(0=-X A E α与0)(2=-βαA E 两个的解空间是完全相同的，即{}021=⋂W W ． 2.6在线性变换中应用例]10[7 设()1][>n X P n 是数域P 上的一个全体,且它是一个次数小于n 的多项式与零多项式，则请通过所学的进一步判断在n X P ][的任一组基下，矩阵通过微分变换τ能否变为对角形矩阵．证明 如果取()!1!211--n X X X n ，，，， , 那么矩阵可以表示为⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001-n E ,所以有n A E λλ=-. 如果在某一组基的作用下，微分变换τ的矩阵B 为对角矩阵,由已知的矩阵B A ~可推出矩阵A 可对角化,那么就会存在一个可逆矩阵T 能够使得B AT T =-1,所以1-=TBT A .通过已知的微分变换τ的全为零,可以推出0=B ,0=A 这是不可能的,所以在n X P ][的任何一组基的作用下，微分变换τ的矩阵都不可能成为对角阵．2.7求数列通项公式与极限例]11[8 设两个数列{}{}n n q p ,都满足条件1,,21111==+=+=++q p q p q q p p n n n n n n ,则请求解nn n q p∞→lim .解 把已知条件中的几个递推关系组n n n n n n q p q q p p +=+=++11,2,通过化简改写成下面的列矩阵的形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++111111211121q p q p q p nn n n n ,由⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1121A 和0=-A E λ,可以求出A 的21,2121-=+=λλ,并且21λλ，分别对应T T X X )1,2(,)1,2(21-==.取),(21X X X =,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21212211X,1210021-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=X X A , 从而⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-++2)21()21(2)21()21(11210021*******n n n n nn n X X q p , 因此2)21()21(nn n p -++=,2)21()21(n n n q --+=,并且2)21()21()21(2)21(2lim lim =--+-++=∞→∞→n n nn n nn n q p . 例9 已知),2,1(2,2),(,11111 =+=+=>==+++n ba b b a a b a n n n n n n βαβα这四个条件,请证明n n n n b a ∞→∞→lim lim 及存在并且相等,给出证明过程，同时请求出这两个的极限值.证明 把已知条件中的递推关系组作进一步简化推出434,2211n n n n n n b a b b a a +=+=++, 然后再改写为另一种矩阵的形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++11114341212143412121b a b a b a nn n n n ,由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=43412121A 和0=-A E λ,可以求出A 的14121==λλ，,并且21λλ，分别对应()()TT X X 11,1221，，=-=,取()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==1112,21X X X ,则 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-323131311X ,110041-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=X X A , 因为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1004111X b a n n ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⋅+⋅-+⋅-+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-βα324131314131324231314231111n nn n b a X ,所以βα⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-=+3242313142311n n n a ,βα⋅⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-=+3242313142311n n n b ,即n n n n b a ∞→∞→=+=lim 3231lim βα. 例10 设有10=x ,e x =1,)1(11≥⋅=-+n x x x n n n 这三个条件,请求出n n x ∞→lim .解 从已知的三个条件可以推出),2,1(0 =>n x n ,以及)ln (ln 21ln 11-++=n n n x x x ,令n n x a ln =,则00=a ,11=a ,)1()(2111≥+=-+n a a a n n n ,所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+0111012121012121a a a a a a nn nn n , 由⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=012121A 和0=-A E λ,求得A 的21121-==λλ，,并且21λλ，分别对应TT X X )121(,)11(21，，-==.取),(21X X X =,令⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-11211321X ,121001-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=X X A ,则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+n n nn n X X a a )21(1)21(1320121001111, 从而推出：))21(1(32nn a --=,即))21(1(32n e x n --=,32lim e x n n =∞→.例11 设11=x ,nn x x +=+111,求n n x ∞→lim .解 令1+=n n n a a x ,根据条件nn x x +=+111,将其简化为n n n a a a +=++12,然后再写成矩阵)2(0111011112111≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+n a a a a a a n n n n n , 由⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0111A 和0=-A E λ,求出A 的βλαλ=-==+=25125121，,且21λλ，分别对应的是T T X X )1(,)1(21，，βα==,取⎥⎦⎤⎢⎣⎡==11),(21βαX X X ,则100-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=X X A βα, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-+112211511100n n n n nn n X X a a βαβαβα, 即2151)()(1lim lim limlim 1122111-==--=--==++∞→++++∞→+∞→∞→ααββααββαβαn n n n n n n n n n n n n a a x . 2.8求行列式的值例]12[12 设有一个n 阶的行列式，化简并求出它的值.)0(sin cos 21001cos 2100000001cos 21000001cos 21000001cos 2≠=ααααααn D ,解 按照第一列展开的21cos 2---=n n n D D D ,可以写成矩阵的另外一种形式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---211011cos 2n n n n D D D D α, 记矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=011cos 2αA ,则 )2(122211≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----n D D A D D A D D n n n n n , 通过0=-A E λ,我们可以计算出矩阵A 的ia ia e e -==21λλ，,且21λλ，分别对应T ia T ia e X e X )1(,)1(21，，-==,取⎥⎦⎤⎢⎣⎡==-11),(21ia ia e e X X X ,则100--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=X e e X A ia ia, 推出()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----ααcos 21cos 40021221X e e X D D n ia n ia n n ,即)0(sin sin )1sin(≠+=αααn D n .例13 设有一个实对称矩阵A ,并且它的阶数是n 阶，满足条件A A =2,且r 为矩阵A 的秩,通过上述条件求出行列式A E -2的值.解 因为A A =2,X X A AX X 22λλ===,所以有0)-(2=X λλ.因为0≠X ,所以0)1-(=λλ,10或=λ.因为矩阵A 是一个n 阶的实对称矩阵,所以它相似于对角矩阵,又因为矩阵A 的秩为r ,所以一定会存在一个可逆矩阵P ,可以使得B E AP P r =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-0001,其中矩阵r E 表示的是r 阶单位矩阵,所以可以推出)(22022211r n E E B E PBP PP A E rn r-==-=-=----.2.9对角化矩阵在其他方面的应用例14 在某个城市的就业数据中显示，一共有30万人从事着不同的三种行业,分别是农业、工业、经商，假设在几年之间这个从业总人数都会保持不变,而且经过整个社会的普查显示:(1)在这个城市的30万人中,投身于农业的有15万人,工业的有9万人,经商的有6万人；(2)在投身于农业的人中,每年大概有%10的人转行去经商,%20的人转行去做工业；(3)在投身于工业的人中,每年大概有%20的人转行去干农业,%10的人转行去经商；(4)在投身于经商的人中,每年大概有%10的人转行去做工业,%10的人转行去干农业.现在请大概预测一下，在未来的一、二年以后,从事这三个行业的人数,以及经历多年以后,从事这三个行业的人员总数会有什么样的一个发展趋势.解 第i 年后还从事这三种行业的人员总数,我们会用一个3维的向量i X 去表示它，则T X )6,9,15(0=.如果想要求21X X ，,并且能够很精确地考察在∞→n 时,n X 的一个发展趋势,那么我们必须要引用一个3阶矩阵)(ij a A =,它的作用是用来体现从事这三种职业人员之间的转移情况.那我们就能够得出矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=8.01.01.01.07.02.01.02.07.0A ,通过矩阵的乘法法则，我们可以得出⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡===-2.79.99.12001AX X A X T ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡===04.823.1073.110212X A AX X , 所以01X A AX X n n n ==-,如果要继续进一步精确地分析n X ,那么必须要事先计算矩阵A 的n 次幂n A ,所以我们先可以将矩阵A 进行对角化,)5.0()7.0()1(8.01.01.01.07.02.01.02.07.0λλλλλλλ---=---=-E A ,所以能够得出特征值5.0,7.0,1321===λλλ,三个特征值分别代表其求出的所对应的三个特征向量321,,q q q ,于是令),,(321q q q Q =,则就会有矩阵1-=QBQ A ,从而推出1-=Q QB A n n ,0X A X n n =,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=5.07.01B ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n nn B 5.07.01, 当∞→n 时,矩阵n B 将趋向于⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001,从而推出矩阵n A 将趋向于1001-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡Q Q , 因为矩阵n X 跟我们已经确定下来的常量*X 非常接近,所以可以得出1-n X 亦必趋于*X ,再通过1-=n n AX X 的转化，就能够准确得知*X 必需要满足条件**AX X =,进而可以推断出*X 是矩阵A 属于特征值11=λ的一个特征向量T T t t t t X ),,()111(*==，，,,303==++t t t t 10=t ,按照上面所讲述的规律转移,经过许多年以后，那么这三种职业的从业人数一定会趋于相等, 三者平均下来为10万人.参考文献[1] 北京大学教学系几何与代数教研室．高等代数(第二版)[M]．北京：高等教育出版社,1988．[2] 胡显佑主编．线性代数挚习指导[M]．天津：南开大学出版社,1997．[3] 刘九兰,张乃一,曲问薄主编．线性代数考研[M]．天津：天津大学出版社,2000.5．[4] 谢国瑞主编．线性代数及应用[M]．北京：高等教育出版社.1999．[5] 张学元主编．线性代数能力试题题解[M]．武汉：华中理工大学出版社,2000．[6] 徐仲主编．线性代数典型题分析解集[M]．西北工业大学出版社,1998,6．[7] 樊辉,钱吉林主编,代数学辞典[M]．武汉：华中师范大学出艋社．1994,12．[8] 曹锡皓．高等代数[M]．北京：北京师范大学出版社,1987．[9] 张远达．线性代数原理[M]．上海：上海科学出版社,1981．[10] Kline Morris. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times[M]. New York: OxfordUniversity Press, 1972.[11]Rebollo-Neira L，Fernandez Rubio J.On the Inverse Windowed Fourier transform[M]．IEEETranks on Information Theory，1999.[12] Babaie-Zadeh，M. Jutten, C.，Mohimani, H. On the Error of Estimating the Sparsest Solution ofUnderdetermined Linear Systems[M]．2011.致谢在开始准备着手写论文到最后定稿的整个过程中,指导教师XXX老师都是非常耐心和细心的引导我和帮助我,在此我向王老师表示由衷的感谢.王老师的严谨治学态度让我受益匪浅.在毕业论文写作的这段时间里,他时时刻刻关心着我的毕业论文的完成情况,并且经常给我指出毕业论文中的缺点与需要改正的地方,最后才能使得我可以顺利完成毕业论文.与此同时，我很感谢所有给过我帮助的老师、同学以及一起努力奋斗过的好朋友.。