三、移动平均模型MA(q) 如果时间序列 满足
，
则称时间序列
或者记为
服从q阶移动平均模型。
。
平稳条件：任何条件下都平稳。
MA(q)模型的平稳性
对于移动平均模型MR(q)： Xt=t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 其中t是一个白噪声，于是
E ( X t ) E ( t ) 1 E ( t 1 ) q E ( q ) 0
AR(1)稳定，即 || <1，意味着特征根大于1。 对高阶自回模型AR(p)来说，多数情况下没有 必要直接计算其特征方程的特征根，但有一些有 用的规则可用来检验高阶自回归模型的稳定性： (1)AR(p)模型稳定的必要条件是： 1+2++p<1 (2)由于i(i=1,2,p)可正可负，AR(p)模型 稳定的充分条件是： |1|+|2|++|p|<1
所使用的工具主要是时间序列的自相关函数 （autocorrelation function，ACF）及偏自相关 函 数 （ partial autocorrelation function ， PACF ）。
一、自相关分析 自相关分析法是进行时间序列分析的有效方
法，它简单易行, 较为直观，根据绘制的自
当滞后期大于q时，Xt的自协方差系数为0。 因此:有限阶移动平均模型总是平稳的。
可逆条件：
的根均在单位圆外
通常希望AR过程与ＭＡ过程能相互表出，即过程 可逆。 如移动平均模型MA(１)：
可逆条件：
四、ARMA(p,q)模型 如果时间序列 满足
则称时间序列
平均模型。
服从(p,q)阶自回归移动
或者记为：
平稳条件： 可逆条件： 的根均在单位圆外 的根均在单位圆外
将纯AR(p)与纯MA(q)结合，得到一个一般的自回归移动 平均（autoregressive moving average）过程ARMA（
该式表明： （1）一个随机时间序列可以通过一个自回归移动平均 过程生成，即该序列可以由其自身的过去或滞后值以及 随机扰动项来解释。 （2）如果该序列是平稳的，即它的行为并不会随着时间 的推移而变化，那么我们就可以通过该序列过去的行为 来预测未来。 这也正是随机时间序列分析模型的优势所在。
据之间的相关程度，其取值范围在－1到 1之间，值越接近于1，说明时间序列的 自相关程度越高。
（3）样本的偏自相关函数 在给定了 换句话说：偏自相关是对 的条件下， 之间未被
与滞后k期时间序列之间的条件相关。
所解释的相关度量。
在AR(1)中， 从ｙt中去掉ｙt-1的影响，则只剩下随机扰动项t，显然它 与ｙt-2无关，因此我们说ｙt与ｙt-2的偏自相关系数为零。 同样地，在AR(p)过程中，对所有的k>p，Ｙt与Ｙt-k间 的偏自相关系数为零。
0 var X t (1 12 q2 ) 2 1 cov( X t , X t 1 ) ( 1 1 2 2 3 q 1 q ) 2

q 1 cov( X t , X t q 1 ) ( q 1 1 q ) 2 q cov( X t , X t q ) q 2
一、模型阶数的确定 （1）基于自相关函数和偏相关函数的定阶方法 对于ARMA(p,q)模型，可以利用其样本的 自相关函数和样本偏自相关函数的截尾性判
定模型的阶数。
如果样本的偏自相关函数是以p步截尾的，模型为AR(p) ； 如果样本的自相关函数具有q步截尾性，模型为MA(q)； 如果样本的自相关函数和偏相关函数都是拖尾的，模型 为ARMA(p,q) 。
-0.3
-0.4
-0.4
-0.5 1 2 3 4 5 6 7 8
-0.5 1 2 3 4 5 6 7 8
模型 4： X t 0.7 X t 1 0.49 X t 2 t
0.6 ACF 4 0.6 PACF 4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.0
0.0
-0.2
-0.2
-0.4 1 2 3 4 5 6 7 8
PACF
模型 1：
X t 0.7 X t 1 t
0.8 ACF1 0.6 PACF1
0.8
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0.0 1 2 3 4 5 6 7 8
0.0 1 2 3 4 5 6 7 8
模型 2：
0.6 0.4 0.2 0.0
X t 0.7 X t 1 t
7 平稳时间序列预测法
7.1 概述
7.2 时间序列的自相关分析 7.3 单位根检验和协整检验 7.4 ARMA模型的建模
7.1 概 述
一、平稳时间序列
时间序列 取自某一个随机过程，则称：
过程是平稳的——随机过程的随机特征不随时间变化而变化
过程是非平稳的——随机过程的随机特征随时间变化而变化
严平稳时间序列的定义： 所有的统计特性不随时间的平移而变化 宽平稳时间序列的定义： 设时间序列 ，对于任意的t,k和m，满足：
样本的偏自相关函数的计算
其中：
时间序列特性分析 1、时间序列的随机性，是指时间序列各项 之间没有相关关系的特征。使用自相关分析图 判断时间序列的随机性，一般给出如下准则： 若时间序列的自相关函数基本上都落入 （ 置信区间 - 2 、2 ），则该时间序列具有随机性；
n n
若较多自相关函数落在置信区间之外， 则认为该时间序列不具有随机性。
三、ARMA模型的自相关分析 AR(p)模型的偏自相关函数是以p步截尾的，自 相关函数拖尾； MA(q)模型的自相关函数具有q步截尾性，偏 自相关函数拖尾；
（可用以上两个性质来识别AR和MA模型的阶数）
ARMA(p,q)模型的自相关函数和偏相关函数都 是拖尾的。
图 ACF
ARMA(p,q)模型的 ACF 与 PACF 理论模式
-0.4 1 2 3 4 5 6 7 8
模型 5：
0.8
X t 0 .7 X t 1 t 0.7 t 1
0.0 ACF5
0.4
-0.2
0.0
-0.4
-0.4
-0.6
PACF5
-0.8
-0.8
-1.2 1 2 3 4 5 6 7 8
-1.0 1 2 3 4 5 6 7 8
7.4 ARMA模型的建模
判定准则：
月度数据，考察k=12,24,36, …时的自相关系数 是否与0有显著差异；
季度数据，考察k=4,8,12, …时的自相关系数是 否与0有显著差异 。
注1：实际问题中常遇到季节性和趋势性同时存在 的情况，应先剔除序列趋势性，在识别季节性。 注2：包含季节性的时间序列也不能直接建模，应 先进行季节差分消除，季节差分一般不超过一阶。
n 其中m 取 10 或m n 左右。 则当
H 0 成立时，Q 服从
2 分布。 的
对给定的显著性水平

Q 2 ( ) ，则拒绝 ，若
H 0 ，即模型与原随机序列之间拟合得不好，需重新考虑
建模；若 Q 2 ( ) ，则认为模型与原随机序列之间拟合 得较好，模型检验被通过。 注：上机操作时，一般看Q统计检验的相伴概率
ARMA模型的三种基本形式：
自回归模型（AR：Auto-regressive）； 移动平均模型（MA：Moving-Average）；
混合模型（ARMA：Auto-regressive Moving-Average）。
二、自回归模型 如果时间序列 其中 满足
是独立同分布的随机变量序列,且满足：
ˆ (j ) 令
1 n j ˆ ˆ t j t n t 1
j 0,1,, m
ˆ (j )
ˆ (j )
ˆ
( ) 0
j 1,, m
Q
j 1
m

ˆ n (j )

2
ˆ n (j )
m j 1
2
自由度为 m p q
如果对于序列
和
来说，均不 和 ，则可以
截尾，即不存在上述的
判定平稳时间序列
为ARMA模型。
（3）残差项的白噪声检验：（Q统计量检验）
一般地，对ARMA ( p, q) 模型
ˆ ˆ t yt i yt i j t j
i 1 j 1
p
q
它们均值为0，可递推得到残量估计1 , 2 ,, t ˆ ˆ ˆ 现作假设检验： ˆ ˆ ˆ H0 : 1 , 2 ,, t 是来自白噪声的样本
则称
宽平稳。
ARMA模型是描述平稳随机序列的最常用的一种模型。 Box-Jenkins方法提供了对时间序列进行分析、预测， 以及对ARMA模型识别、估计和诊断的系统方法。 Box-Jenkins基本思想：用数学模型描述时间序列自身 的相关性，并假定这种自相关性一直延续，用该模型预 测未来的值。
相关分析图和偏自相关分析图，我们可以初 步地识别平稳序列的模型类型和模型阶数。 利用自相关分析法可以测定时间序列的随机性 和平稳性，以及时间序列的季节性。
（1）自相关函数的定义
滞后期为k的自协方差函数为：
则自相关函数为：
其中：
当序列平稳时，自相关函数可写为：
（2）样本自相关函数
其中：
样本自相关函数可以说明不同时期的数
由于Xt 仅与 t 相关，因此，E(Xt-1t)=0。如果该模型稳 定，则有E(Xt2)=E(Xt-12)，从而上式可变换为：
2 2 0 X 1 2
在稳定条件下，该方差是一非负的常数，从而有 ||<1。