第七章 平稳时间序列预测法基本内容 一、概述1、 时间序列{}t y 取自某一个随机过程，如果此随机过程的随机特征不随时间变化，则我们称过程是平稳的；假如该随机过程的随机特征随时间变化，则称过程是非平稳的。

2、 宽平稳时间序列的定义：设时间序列{}t y ，对于任意的t ,k 和m ，满足：()()m t t y E y E +=()()k m t m t k t t y y y y ++++=,cov ,cov则称{}t y 宽平稳。

3、Box-Jenkins 方法是一种理论较为完善的统计预测方法。

他们的工作为实际工作者提供了对时间序列进行分析、预测，以及对ARMA 模型识别、估计和诊断的系统方法。

使ARMA 模型的建立有了一套完整、正规、结构化的建模方法，并且具有统计上的完善性和牢固的理论基础。

4、ARMA 模型三种基本形式：自回归模型（AR ：Auto-regressive ），移动平均模型（MA ：Moving-Average ）和混合模型（ARMA ：Auto-regressive Moving-Average ）。

（1） 自回归模型AR(p)：如果时间序列{}t y 满足t p t p t t y y y εφφ+++=-- (11)其中{}t ε是独立同分布的随机变量序列，且满足：()0=t E ε，()02>=εσεt Var则称时间序列{}t y 服从p 阶自回归模型。

或者记为()k t t y y B -=φ。

平稳条件：滞后算子多项式()pp B B B φφφ++-=...11的根均在单位圆外，即()0=B φ的根大于1。

（2） 移动平均模型MA(q)：如果时间序列{}t y 满足q t q t t t y -----=εθεθε...11 则称时间序列{}t y 服从q 阶移动平均模型。

或者记为()t t B y εθ=。

平稳条件：任何条件下都平稳。

（3） ARMA(p,q)模型：如果时间序列{}t y 满足q t q t t p t p t t y y y -------+++=εθεθεφφ (1111)则称时间序列{}t y 服从(p,q)阶自回归移动平均模型。

或者记为()()t t B y B εθφ=。

特殊情况：q=0,模型即为AR(p)，p=0, 模型即为MA(q)。

二、时间序列的自相关分析1、自相关分析法是进行时间序列分析的有效方法，它简单易行、较为直观，根据绘制的自相关分析图和偏自相关分析图，我们可以初步地识别平稳序列的模型类型和模型阶数。

利用自相关分析法可以测定时间序列的随机性和平稳性，以及时间序列的季节性。

2、自相关函数的定义：滞后期为k 的自协方差函数为：()t k t k y y r ,cov -=，则{}t y 的自相关函数为：tkt yy kk r σσρ-=，其中()()22t t y y E y E t -=σ。

当序列平稳时，自相关函数可写为：0r r kk =ρ。

3、 样本自相关函数为：()()()∑∑=-=+---=nt tkn t k t tk y yy y y y121ˆρ，其中n yy nt t/1∑==，它可以说明不同时期的数据之间的相关程度，其取值范围在-1到1之间，值越接近于1，说明时间序列的自相关程度越高。

4、 样本的偏自相关函数：1ˆρ1=k∑∑-=---=----11,111,1ˆˆ1ˆˆˆk j j k j k k j j k j k k ρϕρϕρ,...3,2=k其中，j k k kk j k j k ----=,1,1,ˆˆˆϕϕϕϕ。

5、 时间序列的随机性，是指时间序列各项之间没有相关关系的特征。

使用自相关分析图判断时间序列的随机性，一般给出如下准则：①若时间序列的自相关函数基本上都落入置信区间，则该时间序列具有随机性； ②若较多自相关函数落在置信区间之外，则认为该时间序列不具有随机性。

6、 判断时间序列是否平稳，是一项很重要的工作。

运用自相关分析图判定时间序列平稳性的准则是：①若时间序列的自相关函数k ρˆ在k>3时都落入置信区间，且逐渐趋于零，则该时间序列具有平稳性；②若时间序列的自相关函数更多地落在置信区间外面，则该时间序列就不具有平稳性。

7、 ARMA 模型的自相关分析AR(p)模型的偏自相关函数kk ϕ是以p 步截尾的，自相关函数拖尾。

MA(q)模型的自相关函数具有q 步截尾性，偏自相关函数拖尾。

这两个性质可以分别用来识别自回归模型和移动平均模型的阶数。

ARMA(p,q)模型的自相关函数和偏相关函数都是拖尾的。

三、单位根检验和协整检验1、单位根检验①利用迪基—福勒检验（ Dickey-Fuller Test ）和菲利普斯—佩荣检验（Philips-Perron Test ）,我们也可以测定时间序列的随机性，这是在计量经济学中非常重要的两种单位根检验方法，与前者不同的事，后一个检验方法主要应用于一阶自回归模型的残差不是白噪声，而且存在自相关的情况。

②随机游动如果在一个随机过程中，t y 的每一次变化均来自于一个均值为零的独立同分布，即随机过程{}t y 满足：t t t y y ε+=-1，...2,1=t ，其中{}t ε独立同分布，并且：()0=t E ε，()()∞<==22σεεt t E Var称这个随机过程是随机游动。

它是一个非平稳过程。

③单位根过程设随机过程{}t y 满足：t t t y y μρ+=-1，...2,1=t ，其中1=ρ，{}t μ为一个平稳过程并且()0=t E μ，()∞<=-s s t t μμμ,cov ，...2,1,0=s 。

2、协整关系如果两个或多个非平稳的时间序列，其某个现性组合后的序列呈平稳性，这样的时间序列间就被称为有协整关系存在。

这是一个很重要的概念，我们利用Engle-Granger 两步协整检验法和Johansen 协整检验法可以测定时间序列间的协整关系。

四、ARMA 模型的建模1、模型阶数的确定①基于自相关函数和偏相关函数的定阶方法对于ARMA(p,q)模型，可以利用其样本的自相关函数{}k ρˆ和样本偏自相关函数{}kk ϕˆ的截尾性判定模型的阶数。

具体方法如下：i 、对于每一个q,计算 1ˆ+q ρ，2ˆ+q ρ，…，M q +ρˆ（M 取为n 或者10/n ），考察其中满足∑=+≤qi i k n12ˆ211ˆρρ或者∑=+≤qi i k n12ˆ212ˆρρ的个数是否占M 个的68.3%或者95.5%。

如果01q k ≤≤，k ρˆ都明显地异于零，而10ˆ+q ρ，20ˆ+q ρ，…，M q +0ˆρ均近似于零，并且满足上述不等式之一的k ρˆ的个数达到其相应的比例，则可以近似的判定{}k ρˆ是0q 步截尾，平稳时间序列{}t y 为MA(0q )。

ii 、类似，我们可通过计算序列{}kk ϕˆ，考察其中满足nkk 1ˆ≤ϕ或者nkk 2ˆ≤ϕ的个数是否占M 个的68.3%或者95.5%。

即可以近似的判定{}kk ϕˆ是0p 步截尾，平稳时间序列{}t y 为AR(0p ).iii 、如果对于序列{}kk ϕˆ和{}k ρˆ来说，均不截尾，即不存在上述的0p 和0q ，此时属于情况iii ，则可以判定平稳时间序列{}t y 为ARMA 模型。

此外常用的方法还有：②基于F-检验确定阶数；③利用信息准则法定阶（AIC 准则和BIC 准则）2、模型参数的估计 ①初估计i 、 AR(p)模型参数的Yule-Walker 估计特例：对于一阶自回归模型AR(1)，11ˆˆρφ=，对于二阶自回归模型AR(2)，()21211ˆ1ˆ1ˆˆρρρφ--=， 212122ˆ1ˆˆˆρρρφ--=。

ii 、MA(q)模型参数估计特例：对于一阶移动平均模型MA(1), 12112411ˆρρθ-±-=，对于二阶移动平均模型MA(2)，222121111θθθθθρ+++-=，2221221θθθρ++-=。

iii 、ARMA(p,q)模型的参数估计模型很复杂，一般利用统计分析软件包完成。

②精估计ARMA(p,q)模型参数的精估计，一般采用极大似然估计，由于模型结构的复杂性，无法直接给出参数的极大似然估计，只能通过迭代方法来完成，这时，迭代初值常常利用初估计得到的值。

3、ARMA(p,q)序列预报设平稳时间序列{}t y 是一个ARMA(p,q)过程，则其最小二乘预测：()()11,...,ˆy y y E l yT T t +=。

i 、AR(p)模型预测()()()p l y l y l yT p T t -++-=ˆ...1ˆˆ1φφ，,...2,1=l ii 、ARMA(p,q)模型预测()()()j l j l yl yTj qj Tp j j t -+-=∑∑==εθφˆˆˆ11，其中()()1,...,ˆy y E i T iT T +=εε。

iii 、预测误差预测误差为：()()11110...ˆ+--++++++=-=l l l t l t t l t t l yy l e εψεψεψ。

l 步线性最小方差预测的方差和预测步长l 有关，而与预测的时间原点t 无关。

预测步长l 越大，预测误差的方差也越大，因而预测的准确度就会降低。

所以一般不能用ARMA(p,q)作为长期预测模型。

iv 、预测的置信区间预测的95%置信区间：()()21212120...96.1ˆ-+++±l t l yψψψσ。