存档编号学士学位论文题目：向量法在中学数学中的应用教学学院: 数学与计算机科学学院届别: 2017届专业: 数学与应用数学学号: ***********: ***指导教师: 颖芬完成日期: 2016年12 月向量法在中学数学中的应用摘要在数学学习中，涉及到的相关解题方法是非常多的，如向量法、几何法、面积法、三角法等，本论文主要针对向量法在中学数学中的应用来进行研究及分析，对于向量法相关的解题方法及技巧进行了详细的研究。

本论文采用归纳演绎的方法对向量法的相关概念、常用公式及定理等进行了介绍，并采用举例分析法对向量法在解题中的实际应用进行了论证，且选择了几个不同的方面来对向量法在中学数学中解题的巧用进行了研究，希望本论文的研究及分析工作能够为类似数学方面的研究带来一定的指导意义。

关键词：向量法；应用；举例分析法；中学数学AbstractIn Learning Mathematics, related to problem-solving approach is very much involved, such as Vector, geometric method, area method, trigonometry, etc., the main application of Vector paper in middle school mathematics for research and analysis carried out on solving Problems associated with the vector methods and techniques have been studied in detail. This paper uses the method of induction and deduction related concepts vector method, commonly used formulas and theorems were introduced, and then, using the example of vector analysis method in solving problems of practical application were demonstrated. The paper chose several different aspects of vector method in middle school mathematics problem solving clever use were studied, hoping to research and analysis work in this paper can bring a certain significance for the study of mathematics is similar.Keywords: Vector; applications; for example analysis; Middle School Mathematics目录摘要 (Ⅰ)1 引言 (1)2 相关理论知识介绍 (2)2.1 向量的概念 (2)2.2 向量的表示 (2)2.3 向量的运算 (4)2.3.1 加法运算 (4)2.3.2 减法运算 (4)2.3.3 数乘运算 (4)2.3.4 向量的数量积 (4)2.3.5 向量的平移公式 (5)2.3.6 线段定比分点公式 (5)2.4 向量的基本定理 (5)2.4.1 平面向量的基本定理 (5)2.4.2 空间向量的基本定理 (5)2.4.3 共线向量的基本定理 (6)2.4.4 共面向量的基本定理 (6)3 向量法在中学几何中的应用 (6)3.1 向量法在平面几何中的应用 (6)3.2 向量法解决立体几何问题 (7)3.3 向量法在解析几何中的应用 (10)4 向量法在中学代数中的应用 (15)4.1 求函数的最值 (16)4.2 求参变数围 (16)4.3 解方程 (17)4.4 解复数问题 (17)4.5 证明条件等式 (18)4.6 向量法在证明解不等式问题中的应用 (18)4.7 向量法解决方程组问题 (18)5 向量法解三角函数的问题 (19)5.1 求值 (19)5.2 证明恒等式 (21)结论 (22)参考文献 (23)致 (24)1 引言对于向量及向量法在中学数学中的应用等相关理论知识而言，它是我国中学数学进行改革之后新增加的容，目的在于为学生提供更好的工具来解决相关数学问题及更好的拓展学生的思维能力。

它具有代数形式以及几何形式等的双重身份，即它把数、形融为一体，从而更好的帮助解决相关几何及代数问题。

在中学数学的诸多知识点里面，向量法及其计算应用等是一个非常重要的交汇点，它经常与复数、平面解析几何、函数、导数、空间解析几何等方面的容进行交叉渗透，从而使得相关的数学问题更加具有综合性、更加具有新颖性，这样才能够更好的反应学生对所学知识的融会贯通的能力。

向量法作为中学数学一项有力的解题工具，通过对其熟练掌握和灵活应用，能够帮助我们提高解题的效率、拓展我们解题的思维能力、以及对知识进行融会贯通的能力等。

向量作为中学数学的一个基本概念，只有对其进行良好的掌握及理解，才能够更好的把向量法应用到相关数学问题中去求解。

对于向量而言，它除了具有方向之外，还具有大小的一个量。

因此，其对我国中学数学的发展起着非常重要的作用，向量是代数课程、函数分析、几何分析等相关课程研究的基本容。

向量及向量法在相关数学问题中的应用等理论知识是作为我国新课改之后引入的新的容，对我国数学的发展起到很重要的作用。

它不但具有代数形式的身份，而且还具有几何形式的身份，可见，它是中学数学的一个交汇点。

通过把向量引入到我国中学数学课程里面，它能够促进高中数学的整个体系架构更加完善，通过对向量法进行灵活应用，能够把许多传统的代数问题、几何问题等变得简单化，从而进一步的拓展了学生解决数学问题的思维能力及方法，也为学生进行创新等方面奠定了良好的基础。

对于平面向量而言，它主要是将代数知识以及几何知识等进行有机的结合到一起，从而更好的帮助解决相关数学问题，它主要渗透到函数、平面几何、数列、三角函数、解析几何、立体几何等相关的知识体系中，并且，在研究这些数学问题的时候得到了非常广泛的应用。

2、相关理论知识介绍2.1 向量的概念在中学数学的学习中，向量是一个非常重要的知识点，只要把向量的相关理论知识及应用掌握透彻了，便可以灵活的应用向量法在中学几何中进行解题或者在代数中进行应用。

在进行向量法的基本应用之前，我们需要先了解向量的基本理论知识，那么，什么是向量？我们把既有大小又有方向的量称之为向量。

我们把具有方向的线段称之为有向的线段，比如，以A 作为起点，B 作为终点的有向线段，可以把它记为。

另外，对于有向线段AB 的长度，则把它称为向量的模，故把其记为∣∣。

通过上述介绍可以很明确的知道向量的三要素为：起点、方向以及长度。

我们把两个方向相反或者方向相同的非零向量称之为平行向量，如向量a 、b 平行，可以把它记为a →//b →。

把长度相等并且方向也相同的向量称之为相等向量。

对于任何一组平行向量来讲，都可以把它移动到同一条直线上面，因此，也可以把平行向量叫做共线向量。

对于长度为0的向量，把它称之为零向量，记为0。

零向量具有很多特点，如它与任何向量都是垂直的，它的方向也是任意的，与任意向量也都是平行的。

把长度等于1个单位长度的向量称之为单位向量。

2.2 向量的表示（1）向量的代数表示：通常情况之下，它是采用黑体小写字母a 、b 、c …等来进行表示，而对于手写，则在a 、b 、c 、d …等字母上加一箭头来进行表示。

（2）向量的几何表示：向量的几何表示图法，对于向量来讲，它可以采用有向线段来进行表示。

而有向线段的长度，它则表示向量的大小，对于箭头所指的方向，则表示为向量的方向。

假如规定线段AB 的大小，对于箭头所指的方向，则表示为向量的方向。

假如规定线段AB 的端点A 为起点，B 为终点，那么，该线段就具有了从起点A 到终点B 的方向、长度。

因此，我们把这种具有长度、方向的线段称之为有向线段。

（3）坐标表示：1）在平面直角坐标系XY 中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量→i ，→j 作为一组基底。

对于→a 来讲，它是为平面直角坐标系xy 的任意一个向量，以坐标原点o 为起点作向量→--OP =→a 。

由平面向量基本定理可以知道，有且只有一对实数（x ，y ），使得→a =向量→--OP =x →i +y →j ，因此，我们就可以把实数对（x ，y ）叫做向量→a 的坐标，记作→a =（x ，y ）。

这就是向量→a 的坐标表示。

其中，（x ，y ）就是点P 的坐标。

向量→--OP 称之为点P 的位置向量。

2）在立体三维坐标系xyz 里面，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的3个单位向量→i ，→j ，k 作为一组基底。

假设→a 为xyz 坐标系里面的任意一个向量，那么，采用坐标原点O 为起点来作向量→--OP =→a 。

因此，通过空间基本定理便可以知道，有且只有一组实数（x ，y ，z ），使得→a =向量→--OP =x →i +y →j +zk ，因此，我们把实数对（x ，y ，k ）称之为向量→a 的坐标，记作→a =（x ，y ，z ）。

这也是向量→a 的坐标表示。

其中（x ，y ，k ），也就是点p 的坐标。

向量→--OP 称为点P 的位置向量。

图1 向量的坐标表示图3) 另外,对于空间多维向量来讲,它也是可以通过类似的方法来得到的，本论文对于空间多维向量就不在进行介绍。

2.3 向量的运算2.3.1 加法运算已知，向量a →、b →，在空间平面之任意取一个点A ，做=b →，=a →，故向量被称之为向量a →与向量b →的和，把它记为a →+b →，即+=，故把这种求和的方法叫做向量加法的三角形法则。

向量加法的运算规律为：a b b a →→→→+=+；()()a b c a b c →→→→→→++=++。

2.3.2 减法运算假设向量a →、b →，并且在平面任意取一点O ，作 =a →，=b →，那么，=a →-b →，即a →-b →可以表示为向量b →的终点指向向量a →的终点的向量。

对于这种求差的方法，我们把它称之为向量减法的三角形法则。

对向量减法来讲，它的实质就是加法的一种逆运算。

2.3.3 数乘运算对于实数与向量a →来讲，它们的积是一个向量，因此，我们把这种运算叫做向量的数乘，把它记为，对于∣∣=∣∣∣a →∣而言，如果<0，则的方向与a →的方向是相反的；如果＞0，则的方向与a →的方向是相同的；如果=0，则=0.设定、μ为实数，那么，实数与向量的积有：1）()a b a b λλλ→→→→+=+2）()a a b λμλμ→→→+=+3）()()a a λμλμ→→=2.3.4 向量的数量积 已知，两个非零向量a →、b →，它们之间的夹角为θ，那么，它的数量积定义表达式为cos ,a b a b a b →→→→→→⋅=〈〉，当,2a b π→→〈〉=时，称向量a → 与b →互相垂直，记作a →⊥b →． 零向量与任意向量的数量积都是为0的。