故点M的运动方程为:y=10sint.
O
A x
v y (10sint ) 10cos t .
故时刻t时,点P在 y轴上的射影点M的速度为10cost cm/s.
例3:已知两条曲线y=sinx,y=cosx,问是否存在这两条 曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线 互相垂直?并说明理由. 解:设存在一个公共点P(x0,y0)满足题设条件. 由y (sinx) cos x, 得y | x x0 cos x0 ;
1 1 1 2 抛 物 线 x , y x , k1 y | x 1 , 故 抛 物 线 y 2 2 1 y x 在 交 点 1,1)处 的 切 线 斜 率 为2 ; ( k 2 1 1 k1 k 2 2 | 3. 由 夹 角 公 式 tan | : || 1 1 k1k 2 1 ( 1) 2 夹角 arctan3.
x x 2 cos(x ) sin , 2 2 x x
公式3: (sin x ) cos x .
证 : y f ( x ) sinx, y f ( x x ) f ( x ) sin(x x ) sinx
x y 2 cos(x 2 ) si n 2 x si n 2 cos(x ) , x x x 2 x 2 sin
0 0
因为A是曲线y=x2上的一点,所以,y0=x02 ①.
由于所求切线过P(3,5)和A(x0,y0)两点,故其斜率又 应为 y0 5 , 2 x0 y0 5 ②.
x0 3 x0 1 x0 5 或 . 联立①,②解得: y0 1 y0 25 x0 3
(1)求函数的增量 y f ( x x ) f ( x ); ( 2)求函数的增量与自变量 的增量的比值: y f ( x x ) f ( x ) ; x x y ( 3)求极限，得导函数 f ( x ) lim y . x 0 x
说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的 导数. 3.函数f(x)在点x0处的导数 f ( x0 ) 就是导函数 f ( x )在x= x0处的函数值,即 f ( x0 ) f ( x) |x x .这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。
几种常见函数的 导 数一、源自习1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与 求值;物理学中,物体运动过程中,在某时刻的瞬时速 度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同 的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和 公式——导数,导数源于实践,又服务于实践. 2.求函数的导数的方法是:
0
4.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率. 5.求切线方程的步骤： （1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
nx n1 (n Q) . 公式2: ( x )
n
请注意公式中的条件是 n Q,但根据我们所掌握 的知识,只能就 n N * 的情况加以证明.这个公式称为 幂函数的导数公式.事实上n可以是任意实数.
证 : y f ( x) x n , y f ( x x) f ( x) ( x x)n x n
, )处 的 切 线 斜 率 为 ， 3 2 2 2 从而过 点且与切线垂直的直的斜率为 ； P 线 3 1 2 所 求 的 直 线 方 程 为 y ( x ), 2 3 3 故曲线在点 ( P
三、例题选讲
2 3 即2 x 3 y 0. 3 2
注:满足条件的直线称为曲线在P点的法线.
例6:求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程. 说明:曲线上求在点P处的切线与求过点P的切线有区别. 在点P处的切线,点P必为切点,求过点P的切线,点P 未必是切点.应注意概念的区别,其求法也有所不同.
解:设所求切线的切点在A(x0,y0). 又因为函数y=x2的导数为 y 2x, 所以过点A(x0,y0)的 切线的斜率为 y | x x 2 x | x x 2 x0 .
1 例5:求双曲线 y 与抛物线 y x 交点处切线的夹角. x 1 x 1 y 解：联立方程组 , 故 交 点 为 （1 . 1， ） x , 解 得 y 1 y x 1 1 1 2 , k1 y | x 1 1, 故 双 曲 线 双曲线 , y y y x x x 在 交 点 1,1)处 的 切 线 斜 率 为 1; ( k1
故切点分别为(1,1)或(5,25). 当切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2; 当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10; 所以所求的切线有两条,方程分别为:y-1=2(x-1)或y25=10(x-5),即y=2x-1或y=10x-25. 练习2:若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线,试求a的值. 解:设直线y=3x+1与曲线y=ax3相切于点P(x0,y0),则有: y0=3x0+1①,y0=ax03②,3ax02=3.③ 由①,②得3x0+1=ax03,由③得ax02=1,代入上式可得: 3x0+1=x0,x0=-1/2. 所以a•(-1/2)3=1,a=4.
例2:如图,质点P在半径为10cm的圆上逆时针做匀角速 运动,角速度1rad/s,设A为起始点,求时刻t时,点P在 y y轴上的射影点M的速度. 解:时刻t时,因为角速度1rad/s, M P 所以 POA 1 t t rad .
MPO POA t rad;
OM OP sinMPO 10sint;
2
1 1 1 1 1 1 ( x ) x 2 x 2 ( x) ; 2 2 2 x 3 3 1 3 5 1 3 8 3 ( ) ( x 5 ) x x 5 . 5 5 5 x3 55 x 8
1 2
si n x m 要证明这个公式,必须用到一个常用极限 lxi 0 x 1.
2 arctan 2 ___________.
1 例4:已知曲线 y x 3 在点P(1,1)处的切线与直线m平行且
距离等于 10 ,求直线m的方程.
1 1 ( 3 ) ( x 3 ) 3 x 4 ; 解：y 3 , y x x 曲线在 (1,1)处的切线的斜率为 y | x 1 3, P k
y x 2 f ( x ) (sinx ) lim limcos(x ) lim x 0 x x 0 2 x 0 x 2 cos x 1 cos x .
同理可证,公式4: (cos x ) sin x .
1 例1:求过曲线y=cosx上点P( 3 , 2 )且与过这点的切线垂 直的直线方程. 3 解： y cos x, y sinx, y | sinx . x 2 3 1 3
由y (cos x) sinx, 得y | x x0 sinx0 ;
由两条曲线的切线在点P互相垂直,则cosx0(-sinx0) =-1,得sinx0cosx0=1,即sin2x0=2. 这不可能,所以不存在满足题设条件的一个点.
2 练习1:曲线y=sinx在点P( , )处的切线的倾斜角为 4 2
x 1 n 1 2 n 2 n n 1 n 1 lim[C n x C n x x C n ( x ) ] nx .
31
例如: ( x ) 3 x
3
1 2 ( x 2 ) 2 x 21 2 x 3 3 ; 3x ; ( x2 ) x
二、新课——几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 公式1: C 0 (C为常数) . y 证 : y f ( x ) C , y f ( x x ) f ( x ) C C , 0, x y f ( x ) C lim 0. x 0 x
[x C x
n 1 n 1 n n 1
n 1
x C x
2 n 2 n n 2
n 2 2
( x ) C ( x ) ] x
2 n n n n n n
n
f ( x ) ( x n ) lim
x 0 x 0
C x x C x ( x ) C ( x ) , y 1 2 n C n x n 1 C n x n 2 x C n ( x ) n 1 , x y
四、小结与作业
1.要切实掌握四种常见函数的导数公式:(1) c 0 (c为常 数;(2)( x ) x 1 ( R);(3) (sinx ) cos x;(4) (cos x ) sinx. 2.对于简单函数的求导,关键是合理转化函数关系式为 可以直接应用公式的基本函数的模式. 3.能结合直线的知识来解决一些与切线有关的较为综 合性问题. 4.作业:p.233~234课后强化训练.
从而切线方程为 1 3( x 1),即3 x y 4 0. y
设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:
| b (4) | 32 1 10 | b 4 | 10, b 6或b 14;
故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.