x
log a b N log a N . 因为x=logbN,所以 log b
log
a
所以 log
b
N
log
a
N
log
.
a
b
b
五、知识应用
题型 利用换底公式化简求值
例 1 计算： （1） lo g 9 2 7 ； （2） lo g 8 9 lo g 2 7 3 2
解: (1) lo g 9 2 7
经过 2 年，剩留量是 y 0 .8 4 ； …………………… x 经过 x 年，剩留量是 y 0 .8 4 ；
2
知识应用
题型 对数运算在实际问题中的应用
例 3 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一 年剩留的质量约为原来的 84%，估计约经过多少年，该物 质的剩留量是原来的一半（结果保留 1 个有效数字）
选做题:已知 lg x lg y 2 lg( x 2 y ) ,求 lo g
x
2
的值.
y
十、知识延伸
思考:对数有换底公式,指数有换底公式吗?
指数的换底公式 n lo g n a b
问题与思考
b
a
(1)你能证明指数换底公式吗? (2)已知 lg 2 0.3010 ， lg 3 0 .4 7 7 1 ，你能否较快地比
x
对上式两边同取以10为底的对数可得
lo g 1 0 2 lo g 1 0 1 5， 即
x
lg 2 lg 15 x lg 2 lg 15
x
x
lg 1 5 lg 2
， 即
lo g 2 1 5
lg 1 5 lg 2
lg 1 5 lg 2
x lo g 2 1 5
3 .9 1 .
神奇的对数换底 公式
一、复习与回顾 1、对数的定义 a N b log a N
b
2、对数的运算性质
如果 a 0 , a 1, M 0 , N 0 , 则
1 log a MN log a 2 log a 3 log a
M M N
n
M log
2 . 096
log 8 0 . 550
log
1 . 082
2 8 . 795
知识应用
题型 对数运算在实际问题中的应用
例 3 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一 年剩留的质量约为原来的 84%，估计约经过多少年，该物 质的剩留量是原来的一半（结果保留 1 个有效数字）
解：设最初的质量是 1，经过 x 年，剩留量是 y ，则 经过 1 年，剩留量是 y 0.84 ；
lo g b a 1 lo g a b
N lo g a N lo g a b
如何证明
令 N a ， lo g 由 推论2
n
b
即可得到
如何证明
lo g a m b
lo g a b lo g a a
n m
n m

lo g a b
n lo g a b m
lo g a m b
n

n m
两个推论
log
log
b
a log
b
n
a
b 1
log b
n m
a
m
a
思考：(1)对数换底公式的作用是什么？ (2)在什么情况下选用对数换底公式？
(3)在进行对数的化简与计算时，如何选用底数？
九、课外作业ห้องสมุดไป่ตู้
必做题: 教材 P88 习题 B 组 T4 2、 已知 log 7 3 a , log 7 4 b , 试用 a , b 表示 lo g 4 8 4 9 .
x
x 方法二 依题意得 0 .8 4 0 .5 ，
x lo g 0 .8 4 0 .5
ln 0 .5 ln 0 .8 4
3 .9 8
即约经过 4 年， 该物质的剩留量是原来的一半。
八、课时小结
你从这节课上学到了什么？
对数换底公式
log
b
N
log log
a a
N b
a , b
0 , a , b 1, N 0 .
较2
100
与 3 的大小吗?
65
(3)指数换底公式的意义是什么?有什么作用?
思考：对数换底公式的作用是什么？ 答：利用对数换底公式可以将不同底数的对数化为同 底的对数；或将一般地对数化为自然对数或常用对数， 这样便于查表和计算. 思考：在什么情况下选用对数换底公式？ 答：(1)在运算过程中，出现不能直接用计算器或查表 获得对数值时，可化为10为底的常用对数进行运算.
n
n m
2 log 3 3 5 log 3 2 10 3 log 3 2 3 log 3 3 9
m
lo g a b lo g b a 1
五、知识应用
题型 利用换底公式化简求值
例 1 计算： （1） lo g 9 2 7 ； （2） lo g 8 9 lo g 2 7 3 2
对数换底公式
log
b
如何证明
0 , a , b 1, N 0 .
证:设 lo g 2 1 5 x ，
N
log log
a a
N b
a , b
证明: 设x=logblog a N N,根据对数定义,有 根据对数的定义, 证明二：设 x x, 写成指数式，得 N=b .log b 换底公式好神奇 a 2 15 两边取以a为底的对数,得 换成新底可任意 两边取常用对数,得 x lg 2 lg 15 logN x logx.a b log a b x原底加底变分母 则 log a aN=logab lg 1 5 而logabx=xlogab,所以 所以 x . 真数加底变分子 lg 2 x 所以 loga b ab. log b N N N=xlog x log a N . 由于b≠1,则logab≠0,解出x得 x
解法三: (1) lo g 9 2 7 lo g 3 3
3
2
3 2
lo g 3 3
2
3 2
5
( 2 ) lo g 8 9 lo g 2 7 3 2 lo g 2 3 3 lo g 3 2 2 2 3 lo g 2 3 5 3 lo g 3 2 10 9
六、公式推论 推论1
四、获取新知
由 lo g 2 1 5
lg 1 5 lg 2
抽象推广到一般情况可得重要
的对数转换公式：
换底公式
lo g b N
lo g a N lo g a b
( 其 中 a， b 0， a， b 1， N 0 )
说明：对数换底公式的证明方法并不唯一，前面 对log 2 15 的求值过程实际上就是一种证明方法，可类 似证明对数换底公式，
3
知识应用
log 2 48 ； log 3 10 ; log 8 ; lg 48 解： 2 48 log 5 . 585 lg 2
log 3 10 ln 10 ln 3
log 5 50 2 . 431
例2 用科学计算器计算下列对数（精确到0.001）
log 5 50 ; log 1.082 2
解法二: (1) lo g 9 2 7
lo g 3 2 7 lo g 3 9
2 3

lo g 3 3 lo g 3 3
5 3
3 2

3 2
( 2 ) log 8 9 log
27
32
log 3 3 log 3 2

log 3 2 log 3 3
lo g a m a
n lo g a m b n lo g b a
知识应用
题型 对数运算在实际问题中的应用
例 3 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一 年剩留的质量约为原来的 84%，估计约经过多少年，该物 质的剩留量是原来的一半（结果保留 1 个有效数字）
解：设最初的质量是 1，经过 x 年，剩留量是 y ，则
经过 x 年，剩留量是 y 0 .8 4 ；
lo g a b
直接利用换底公式
七、跟踪练习
计算：(1) log 9 8 log 32 3 1 3 13 1 lg lg 8 lg 1 lg lg 2 lg 3 lg 27 1 1 3 解：1) 2 ) log8 log 32log log ( ( 解： log 9 2 27 3 125 2 325 5 lg lg 9 lg 3 32 lg 23 lg 2 lg 5 125 32 lg 3
lg 2 0 . 301
ln 2 0 . 693
说明：第1题中是两个常用对数，它们的底数都是10；
第2题中是两个自然对数，它们的底数都是e.利用科学
计算器可以直接计算常用对数和自然对数.
三、问题探究
问题：可否利用计算器的“lg”或“ln”键求出 lo g 2 1 5 的值呢？
从而有 2 1 5 我们可设 lo g 2 1 5 x ，
( 2 ) log 8 9 log
lg 2 7 lg 9
27

lg 3 lg 3
2 3
3 2

3 2
5 3
32
lg 3 lg 2

lg 2 lg 3
2 lg 3 5 lg 2 10 3 lg 2 3 lg 3 9
五、知识应用
题型 利用换底公式化简求值
例 1 计算： （1） lo g 9 2 7 ； （2） lo g 8 9 lo g 2 7 3 2