开集 ． 如 果 存 在 里 的开 集 ． 使 得
的一 个 半 拓 扑 空 间 ［ ： ， ３ ＿ ．
Ａ
全 体半 开集 族 记 为 Ｓ ． ０ ． （ Ｘ） ， 并称 （ ， Ｓ ． ０ ． （ Ｘ） ） 为 透过 半开集 。 并 由此 衍 生 了半 拓 扑 概 念 ． 以 及 准 半 连续 映 射 ． 特 别 是 半 拓 扑 性 质 的 引入 ． 使 得 这 方 面 的研 究 有 了 进 一 步 的发 展 ． 本 文 的 主 要 研 究 内容 是 Ｓ 一 紧致性与 Ｓ 一 分离性 ． 以 及 在 此 基 础 上研 究 它 们 之 间 的关 系 ．
２ Ｓ一 分 离性
本 小 节 的 主 要 内容 是 介 绍 半 拓 扑 空 间 的 Ｓ 一 分
往下给 出 ． ｓ 一 分 离 性 的一 些 性 质 ． 定理 ２ ． ２ Ｘ是 Ｓ ． 一 空 间铮 的单 点 集是 半 闭集 ． 证明 ： 必要性 ： 取ｘ ， ｙ∈Ｘ， 当ｙ ＃ｘ时 ， 按定义 ， 有 存 在 Ｕ∈５ ． ０ ． （ Ｘ） ， 使 得 ∈Ｕ且 Ｙ隹Ｕ ． 所 以 隹（ ， ， ） 一 ．
广 东技 术 师范 学 院学报 （ 自然科 学 ） ２ ０ １ ３年第 １ ２期
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｇｕ ａ ｎ ｇ ｄ ｏ ｎ ｇ Ｐ ｏ ｌ ｙ ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｉ ｃ Ｎｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
半 拓扑空 间的 Ｓ 一 分 离性 与 Ｓ 一 紧 致 性
得 ∈Ｕ且 Ｙ隹Ｕ 或 Ｙ∈Ｕ且 岳Ｕ．则 称 拓 扑 空 间
（ ， 厂） 满足 ． ｓ 分 离 性 公 理 ， 称（ ， ，） 为 ｜ ｓ 空 间．
（ ２ ） 如果对 于 Ｖ ， Ｙ∈Ｘ， 如果 ］ 、 Ｖ∈Ｓ ． ０ ． （ ） ，
充分性 ： 设ｙ ＃ｘ ， 则 ㈨ 是 包 含 Ｙ的半 开 集 ， 但
如果 ｊ 、 Ｖ∈Ｓ ． Ｏ ． （ ） ， 使 得 ∈Ｕ， ＦＣ ＿Ｖ， 且
＝ ∥ ，
则称 拓扑 空 间 （ ， ，） 满足 ． ｓ 一 分 离性 公理 ， 称（ ， 的
ｒ） 为 ． ｓ 一 空间， 或 称为 ． ｓ 一 正 则 空 间． 对 于满 足 Ｉ ｓ 公 理的． ｓ ， 一 空间 ， 我们 称之为 ． ｓ 一 空 间． （ ５ ） 对 于 ＶＸ 的 半 闭集 Ｆ 、 Ｇ， 且 Ｆ Ｉ Ｇ ＝ ． 如果 ］ 、 Ｖ∈Ｓ ． ０ ． （ Ｘ） ， 使得 Ｆ ， Ｇ ， 且 ＝ ， 则 称 拓 扑
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３ 一ｌ １ 一 ｌ ２
定理 ２ ． ２ 的重要之处 就是在 Ｊ ｓ ． 一 空 间 中把 单 点
基 金项 目 ： 国家 自然科 学基 金（ 编号 １ １ １ ０ １ １ ６ １ ） ， 教育部 博 士点 基金新 教 师类项 目（ 编号 ２ ０ １ １ ４ ４ ０ ７ １ ２ ０ ０ １ １ ） 作者 简介 ： 俸进（ １ ９ ９ ０ 一） ， 男， 广 东人 ， 华南 师 范大 学本 毕业 生 ， 研究 方 向 ： 拓 扑学 ． ，
于 是 由 的任 意 性 ， ｛ ｙ ｝ ＿ ＝ ｛ ｙ ） ． 所 以｛ ｙ ） 是 半 闭集 ．
离性 ． 下面给 出 Ｓ 一 分 离性 的相 关 定 义． 定义 ２ ． １ ［ ］设 （ ， 厂） 是一个拓扑空 间 ， （ １ ） 如果 对 于 Ｖ ， Ｙ∈Ｘ， 如 果 了Ｕ∈Ｓ ． Ｏ ． （ ） ， 使
关键 词 ： Ｃ 一 性质； Ｓ 一 分 离性 ； Ｓ 一紧致 性 ； Ｓ 一 相 对 紧致 子集 中图 分类 号 ： ０ １ ８ ９ ． ３ ２ 文献标 识 码 ： Ａ 文章 编号 ： １ ６ ７ ２—４ ０ ２ Ｘ（ ２ ０ １ ３ ） １ ２—０ ０ ０ １ —０ ３ Fra bibliotek１引 言
空间（ ， 厂） 满足 ￥ ４ － 分离性公理 ， 称（ ， ，） 为 一 空
间， 或称 为 ． ｓ 一 正规空 间． 对 于满 足 Ｓ 。 公理的 Ｓ 一 空
间． 我们 称之为 ￥ ４ － 空 间．
可 以看到 ． Ｓ 一 分 离 性 的定 义 是 把 分 离 性 的 定 义 的推 广 ， 且 显 然 空 间是 ５ 空 间．
衍 生 出 来 的 半 拓 扑 空 间 ．拓 扑 学 在 半 拓 扑 空 间 这 一 范 围 内 出 现 了 大 量 的研 究 成 果 主 要 是 从 １ ９ ６ ３年 Ｎ． Ｌ ｅ ｖ ｉ ｎ ｅ在 文 献 ［ － ］ 中 引 人 了半 开 集 的 概 念 开 始 的 ．
设（ ， ） 是 一 个拓 扑空 间 ， Ａ 称 为 的 半
本 文 主 要 研 究 内容 是 由 点 集 拓 扑 学 的 相 关 概 念
（ ３ ） 如 果对 于 Ｖ ， Ｙ∈Ｘ， 如 果
、 Ｖ∈Ｓ ． Ｏ ． （ Ｘ） ，
使 得 ∈Ｕ， Ｙ∈Ｖ， 且 Ｕ Ｉ Ｖ ＝ ￣ ， 则称拓扑空 间（ ， ，） 满
足． ｓ ｒ分 离 性 公 理 ， 称（ ， 厂） 为Ｉ ｓ ｒ空 间． （ ４ ） 对于Ｖ ∈Ｘ， 以及 ＶＸ 的半 闭集 Ｆ。 且
俸 进． 赵 浩
（ 华 南 师范 大学数 学 科 学学 院 ， 广 东 广州 ５ １ ０ ６ ３ １ ） 摘 要 ： 主 要讨 论 了半拓 扑 不变 性质 ： Ｓ 一 分 离性 与 Ｓ 一紧致 性 ， 并 通过 定义 Ｓ 一 相 对 紧致 子 集 ， 最后 得 出 Ｓ 一 分 离
性与 Ｓ 一紧 致 性 之 间 的 相 互 关 系 ．
是 它 不 含 ． 同样 ， Ｘ ＼ 是 包 含 的 半 开 集 ， 但 是 它 不
含ｙ ． 所 以 是 ． ｓ 广空 间 ．
使 得 ∈Ｕ， Ｙ诺Ｕ且 Ｙ∈Ｖ， 莹Ｖ，则 称 拓 扑 空 间 （ ，
ｒ） 满足 Ｓ ｌ － 分离性公理 ， 称（ ， 厂） 为５ 广空 间 ．