2 0 16 2 0 17 学年度第教学过程设计备注一、导入新课1. 提问数学分析中聚点、孤立点、边界点、有（无）界集概念•2. 回忆上节提到的线段、直线等，它们都是复平面的点集，后续课中讲到解析函数，其定义域、值域均为复平面上某点集•二、讲授新课（一）平面点集基本概念1•点集的基本概念（1）Zo的P-邻域,Z o的去心邻域（2）聚点、内点、孤立点、外点、边界点、边界（3）闭集、开集；有界集、无界集⑷区域、闭域充分理解上述定义，得出以下结论：1）内点必为聚点；2）聚点可能属于E,可能不属于E；3）孤立点必为边界点；4）有边界的不一定是有界集，无边界的必为无界集•例1.7 （1）带形区域力clmz c y2（图1-3） ;（2）同心圆环区域r v|Z < R（图1-4）图1-3 图1-42.若当曲线图1-5非简单曲线图1-6简单曲线图1-7非简单闭曲线图1-8简单闭曲线图1-9光滑曲线图1-10光滑闭曲线（二）复变函数1. 定义（图1-11）单值w = z，w = z2多值w = Argz, w = n，‘ z图1-112. 代数式w =u（x, y ）+iv（x, y ），指数式w = P（r,& ）+iQ（r,。
）例1.8设有函数w = z2,试问它把z平面上的下列曲线分别变成w平面上的何种曲线？（1）以原点为心,2为半径，在第一象限例的圆弧；⑵倾角日=一的直线；3邻域为复数列与极限论的基础此部分内容师生共同讨论完成对于若当曲线，给出图形举例，省去繁琐而抽象的定义赘述对比数学分析中函数的概念，找到异同点解释复变函数的图象需要四维空间，不能形象描述提示学生前两题考虑模与辐角，三题考虑代数关系，师生共同讨论完成学生总结本堂课知识，不足的教师补充续例1.10设lim f z 二，则f z 在z 的某去心邻域内有界. 析：要找到某一 M ,使f z _ M .由lim f z 二 知-；0, 0, - z:有1 ■ zff z - ：：：；.在此式中想解出f z < M ，需要利用绝对值不等式f z -卜解出 f z例1.11设lim f z 二f z 。
f z 0 -0 ,则f z 在z 。
的某邻域内恒不为零.析：即证 |f U J>0，由 lim f (z )= f (z 0 )有F 名 >0^ >0^/z:有 | f (z f (z 0 D c 名 z ― 0 想证 f (z ) >0利用绝对值不等式 |f (z )f (z )得| f (z )>| f(z 0 只需取；二f Z °即可. 此题过程由学生完成. (二)复球面与无穷远点1. 无穷远点的引入：首节课引例 3知球面上点N 在平面上无对应点，引入无穷远点与之对应，得到扩充复平面 C ~^C -:\与之对应的球面为 复球面.扩充复平面的一个几何模型就是复球面.2. 00的邻域:日〉1;处的去心邻域：丄c|z| £邑P 名：>0,萊 >0,p z: Ov|z —Zo |v6 有 |u (x ，y )—和 |v (x,y )—冲 VE 于 是 f (z )—(a +ib j =|b(x, y )—a ] + i V(x, y )—b I< |u(x, y a| + V (x, y b| c 2呂即 lim f (z )= a + ib2.连续lim f (z )=f (z 0 冶 * >0,萊 A O,F z: z — z 0 有| f (z )—f (z 0 pc 名^^0I例1.9证明f (z )= *工0)在原点无极限，从而在原点不连续.提问：；是否可取其他 值？只要取名兰f(Z0 DI都可证明 学生总结本 堂课知识， 不足的教师 补充2Rezlm z设 z = r COST i sin v ，贝U2…i 2r cos^sin 日 f z ---------------- 2r1,沿一趋近原点 \ 40,沿，二0趋近原点.极限不存在，故在原点不连f z =2i1 Z z z-z _ 2i zz 一(1) f z在Z o解析=f z在Z o可微；(2) f z在区域D解析二f z在区域D可微2. 奇点：不解析点(无定义、不连续、不可导)(三)柯西-黎曼方程1. C.-R.方程的引出假设W = f z]=u x, y iv x, y是复变函数x iy的一个定义在区域D内的函数.当二元实函数ux,y,vx, y给定时，此函数也就完全确定.一般说来，如果函数u X, y ,v X, y相互独立，即使函数u x, y ,v x, y对x与y所有的偏导数都存在，函数fz通常仍是不可微的.例如，w = z=x-iy处处连续，并且u=x,v = -y对x与y的一切偏导数都存在且连续，但w = z却是一个处处不可微的函数提出想法：如果函数是可微的，它的实部u x, y与虚部v x, y应不是独立的,而必须适合一定的条件，下面我们来探讨这种条件。
探讨：若f Z在一点x iy可微，则有f Z Z - f zf z呷 ------------ :z—设.：z = x k y, f z =z - f z 二• :u i. ：v,则(2.1)变为(2.2) 先设A y =O,A X T0，则(2.2)式变为f "(z )=直巳严十i即(2.3)再设也x=0, A y T 0，则(2.2)式变为f "(z )=-i ^巳严+(2.4)(2.1)f z ==x kyf z，ex一、导入新课上节课我们将数学分析中的知识平行推广到复变函数中，本节课我们来研究 初等函数在复变函数中的推广，会得到一些性质，其中有与数学分析不同的新性 质，利用这些性质我们可以解决一些复数性问题。
二、讲授新课 (一) 指数函数 1.定义 e z = e x iy = e x cos y i sin y 2.性质 ⑴ |e z =e x , arge z = y, e z 鼻0, (e z ) =e z ; 丄1 e = z ；eZ1 'Z 2=e z1Z1工2(3) e z 以2 ：i 为基本周期，以2k ：i k Z 为周期;(4) e -无意义；(5) 不满足Rolle 定理，满足罗比达法则.(二) 三角函数iz_iz1.定义sin z = e --------- e一 2iize cosz 二一e Jz2教学设计：由欧拉公式e iy= cosy isin y, e 知=cosy - isiny 启发学生思考怎样求出cosy 和sin y ，将y 以复数z 代替，便得到正余弦的定义 2.性质 (1) sinz = cos 乙 cosz 二—sinz ； ⑵sin z 是奇函数，cosz 是偶函数，并满足三角恒等式 (3) sinz 和cosz 都以2二为基本周期; ⑷sin z 的零点为k 二Z ，cosz 的零点为 Z ;(5) sinz 和cosz 在复数域无界.(三)双曲函数e z —e^e z + e^定义双曲正余弦sinhz =r —coshz =r^记忆方法：正余弦定义中去掉所有的i 即可.(1) (2)学生 回答;(3)给 出基本周期 和周期的概 念，证明由 学生完成， 强调与数分 中不同;(4) 举例说 明;(5)回忆 数分相关知 识,Rolle 定理和罗比 达法则，由 学生验证⑵验证和 差化积公式 之一 ;(3)由 学生讨论并 验证;(4)求 解有难度， 教师板演一 个，另一个 由学生完 成;(5)反例cosiy 无界，强调与 数分中不同 双曲函数为 选修内容 按照正余弦 定义解决此 类型问题 学生总结本 堂课知识， 不足的教师 补充2. 求解方法w - z 二点叫' 二e zLn >例 29 (1) - i Ln i ii Lnii|n14#d 2匕丿―异匕例 2.9 (1) i=e =e = e -' 丿」=e⑵ 21"二 e 1iLn2 =e 1i 〔n2i0* I三、 课堂练习 1. 求 Ln 3 4i2.解方程(1) e z =1 • .3(2) cosz sin z = 0 ⑶ I nz -?i2⑷ 1 e z = 03. 试求(1+i )及3,之值.四、 课堂小结 1. 对数函数的求解方法 2. 一般指数函数的求解方法. 五、 布置作业P93- 20、24板书设计学生总结本 堂课知识，不足的教师 补充x = 1 z = t (0^t 兰1 ) AB :丿 wt(三) 复积分的基本性质1. [ af (z dz = a C f (z dz2. ]【f (z )+g (z )d l z = C f (z )dz + ]g (zdzCCC3.f z dz 二 f z dz • f z dz ， C 由 C 1 和 C 2 衔接而成CC〔C 24. 」z dz = - C f zdz5.[ f (z dz = [|f (z $dZ = C I f (z j dsCCC(四) 积分估值定理3.1 f (z 连续，存在M =0 使I f (z ^M ， L 为C 之长，则f(z)dZ 兰ML三、课堂练习n数S n = v f \」Z k ,其中.)Z k 二Z k -Z kj .当分点无限增多，而这些弧段长度的最大 值趋于零时，如果和数S n 的极限存在且等于J ，则称f Z 沿C 可积，而称J 为f Z 沿C 的积分，并记为J = [f(zd Z .C 为积分路径.b3.注意(1)若J 存在，一般不能写成 f zdz ，因为积分和路径C 有关.■a(2)可积的必要条件是有界.(二) 复积分的计算步骤1. 写出积分路径C 的参数方程z 二zt ,:• _t _ jdz = z ，t dt .2. 代入[f (z dz = f f fe(t jkX t dz3. 计算此实积分.例3.1计算积分cRezdz.(l)连接由0到1 - i 的直线段 ⑵连接0到1以及1到1 i 的直线段所组成的折线.解设点1为A,点1 i 为Bx =t(1)OB— z= t it 0 _ t _ 1 , c Re zdz = 1 10t1 id^ 1 i ,0tdt =怎样？ 例题说明，即使起点终 点一样，只 要积分路径不同，结果 就可能不同 将数学分析 中的性质平 移过来，让 学生找出它 们的异同 学生总结本 堂课知识，不足的教师 补充"x =t (2)OA:S证明匚与dz兰2 ■C z四、课堂小结复积分的定义，计算方法，基本性质，积分估值五、布置作业P141—1，P142- 2(1)(2)板书设计得证(二)不定积分z1.变上限积分F z二f (定点Z。