积分判别法 若在[1,∞)上f 减, 非负, 则∑f (n )收敛⇔⎰∞1f 收敛.
此时⎰∞1f ≤∑f (n )≤⎰∞1f + f (1). 证 ⎰21f ≤f (1) = f (1), ⎰32f ≤f (2)≤⎰21f , … ,⎰+1n n f ≤f (n )≤⎰-n n f 1, 相加得⎰+11n f
≤∑-n k k f 1)(≤⎰n f 1+ f (1). 令n →∞得证.
注. 条件可改为x 充分大时f 减, 非负. 例1(p 级数)∑p n
1当且仅当p > 1时收敛. 证一. p > 0时用积分判别法; p ≤0时由必要条件.
证二 p ≤1时由n -p ≥n -1得发散, p >1时用积分判别法.
*证三 p ≤1时由n -p ≥n -1得发散. p > 1时按下列方法加括号: 括号内的项数依次为1, 2, 4, 8, 16, …, 则由1141447141,21223121--=<++=<+p p p p p p p p , … 及比较判别法知加括号后的级数收敛, 故p 级数也收敛. △∑∑∞=∞
=32ln ln 1 ,ln 1n p n p n
n n n n , … . 备考. 设f (x ) = (x ln p x )-1 (x ≥2), 则p ≥0时显然f 减. 而p < 0时对充分大的x , f 仍减[p < 0时f ' (x ) = - (x ln p x )-2 ln p -1x (ln x + p )< 0 (x > e -p ), 故可直接应用积分判别法得∑(n ln p n )-1当p > 1时收敛, p ≤1时发散. △∑)1(~ )1(23n n n +. △)1(~ 1n n n ∑-.△)1(~ )1(q q p p n n n ∑++.△∑sin n 1 (~n 1). △∑n n 1 (n n a =n 1→0, 或n n 1<n 21或21n ). △∑n
n )(ln 1(n n a →0). △∑! n a n (a >0) (n n a a 1+=1+n a , 或n n a =n n a ! →0). △∑n n n ! (n n a a 1+→e 1或n n a →e
1(上 册p.40.4(5)). △∑)2()1(n n n n +(n n a a 1+= (1 +n 1)n 4)22)(12()1(2e n n n →+++<1). △∑n ln 1(n ln 1>n 1或1-n a n →∞). △∑p n )(ln 1(1
-n a n →∞). △∑p n n ln (p ≤1时1-n a n →∞,发散; p >1时取q 使p >q >1,, 则q n n a -→0或a n ≤n -q , 收敛). △∑(n a - 1) (a >1) (由
x a x 1-→ln a (x →0)知n a - 1 = O(n
1). p.16.1 (9)类似). *△∑2121)1ln 2(+-++n n n n n (≤n n n n n 21)2(2121≤+-). *△∑n n ln ln )(ln 1(∵x x ln )ln (ln 2→0(x → ∞), ∴n 充分大时(ln n ) ln ln n = exp(ln ln n )2 < e ln n = n , 发散). 例2. 证明: 若a n > 0, ∑a n 收敛, 则∑1+n n a a 与∑a n a n +1收敛. [与∑a n 比较]. 例3(p.16.9(4). 考察∑∞=3)ln (ln )(ln 1n q
p n n n 的收敛性.
解 设f (x ) = x (ln x )p (ln ln x ) q , 则f ' (x ) = ln p -1 x (ln ln x ) q -1((ln x + p ) ln ln x + q ), x 充分大时∀p , q , f ' (x ) > 0, 故可用积分判别法. ⎰⎰∞∞==3ln 3ln )(u
u du x f dx I q p . p >1时取r 使p >r >1, 由u r
u u q p ln 1→0知I 收敛. p =1时I =⎰∞3ln ln q t dt , 当且仅当q >1时收敛. p <1时由u u
u q p ln 1
→∞, I 发散. 由积分判别法, 所给级数当p > 1或p =1, q > 1时收敛, 在其它情形发散.
*例4 (p.16.10) a n ↓, 非负, 则∑a n 收敛⇔∑2m m a 2(=2a 2 + 4a 4 + …)收敛.
证 设∑2 m m a 2= s . 因为n s 2= a 1 + a 2 + … +n a 2= a 1 + (a 2 + a 3 ) + (a 4 + … + a 7 ) + … +
(+++--)1221n n a a n a 2≤a 1 + 2a 2 + 4a 4 + … = a 1 + s , 故∀n s n <n s 2≤a 1 + s , 由收敛原理
得∑a n 收敛.
设∑a n = s , 则由a 2 ≤ a 1 + a 2 , 2 a 4 ≤ a 3 + a 4等得∑=n
m m m a 1
2221≤ (a 1 + a 2 ) + (a 3 + a 4 ) + (a 5 + …+ a 8 ) + … = s . 因此∑2m m a 2的部分和有界, 从而收敛.
应用: ∑
p n 1收敛⇔∑2m mp 21=∑2(1-p )m 收敛⇔21-p < 1⇔p >1 . ∑∑∑∑⇔=⇔p p p m p m m p m m n n 12ln 12ln 212ln 1收敛收敛收敛⇔p >1. *例5 (Raabe 判别法) 若lim n (1 -n n a a 1+) = l , 则l >1时∑a n 收敛, l < 1时∑a n 发散, l = 1时不定.
证 l >1时取p 使l >p >1,则n 充分大时n (1-n n a a 1+)>p ,n n a a 1+<1-p p p n n n n p ---=-≤)
1()11(. 由比较法, 收敛. l <1时对充分大的n 有n (1 -n n a a 1+)<1, n n a a 1+>1-11)1(1---=n n n。