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开普勒三大定律：
《数学的实践与认识》 2005.12
• 太阳系每一颗行星的轨道皆以太阳为一 焦点的椭圆;
• 行星的向径在单位时间扫过的面积是一 个常数；
• 行星运动周期之平方与平
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态 • 研究控制对象特征的手段
而湖水始终保持 2000 m3 的容积不变，所以列方程：
湖水中含污染物的变化率=污染物流入量-污染物排出量
2000
dC dt

Z 30
6C
C(0) 0
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二、微分方程建模的简单实例
2. 湖水的污染问题
求解得一特解为：
C(t) Z (1 e6t / ) 2000 /180
这时求得的t是死者从死 亡时间到尸体被发现所经 历的时间。因此可得，死 者的死亡时间大致在前一 天晚上的10：35.
T(t)=29时，t=2.4094
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二、微分方程建模的简单实例
2. 湖水的污染问题
X A
B
小湖示意图
如图所示是一个容量为2000m3的一个小湖的示意 图，通过小河A，水以0.1m3/s的速度流入，以相 同的流量湖水经过B流出。在上午11:05时，因交 通事故一个盛有毒性化学物质的容器倾翻，在图 中X点处注入湖中。在采取紧急措施后，于11:35 事故得到控制，但数量不详的化学物质Z已泻入 湖中，初步估计Z的量在5～20m3之间。请建立一 个模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变 化并估计： （1）湖水何时到达污染高峰？ （2）何时污染程度可降至安全水平（不大于 0.05%）。
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三、微分方程的平衡点及稳定性
微分方程所描述的是物质系统的运动规律，实际中，人 们只能考虑影响该过程的主要因素，而忽略次要的因素，这 种次要的因素称为干扰因素。
干扰因素在实际中可以瞬时地起作用，也可持续地起作 用。
问题：在干扰因素客观存在的情况下，即干扰因素引起 初值条件或微分方程的微小变化，是否也只引起对应解的微 小变化？
在凌晨1时警察发现一具尸体，测得尸体的温度是29℃，当 时环境的温度是21℃.1h后尸体温度下降到27℃，若人体正常 的体温是37℃，估计死亡时间。
解：设 T(t)为 t 时刻被杀害者的体温，k 为比例系数. 由
Newton 冷却定理（将温度为 T 的物体放入处于常温 T0 的 介质中，T 的变化速率正比于 T 与周围介质的温度差：
数学建摸课程
第三章 微分方程方法
微分方程建模的思想和方法 微分方程建模的简单实例 微分方程的平衡点与稳定性 案例
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第三章 微分方程方法
❖微分方程是研究函数变化规律的有力工 具，有着广泛和实际的应用。
❖微分方程建模主要有以下三种方法：
✓根据已知规律建模 ✓利用高等数学中的微元分析法建模 ✓利用模拟近似法建模
当它达到安全水平时，即 C(t)=0.05%，可求出 t=T
T 30 (2000/ 6) ln(0.9564Z)
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Z取不同值时的浓度C（30）和时间T
Z/m3
C(30)/m3
T/min
5
0.00239
552
10
0.00478
738
15
0.00717
918
20
0.00956
2000
dC dt

Z 30

6C
C(0) 0
在 0<t<30 之间求 t 为多少时，C(t)最大。
显然是 t=30，污染达到高峰。此时的污染浓度为：
C(30) Z (1 e ) 630/2000 /180 (4.728 10 4 )Z
然后污染物被截断，故方程改为
2000 dC 6C ， C(t) C(30)e6(t30)/ 2000 dt
dT (t) dt

k (T
(t)
T0 ),
，
T (0) 37, T (t) 29, T (t 1) 27
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二、微分方程建模的简单实例
1. 估计死亡时间
解方程得： T (t) Cekt 21
根据初始条件可得
T (t) 16( 4)t 21 3
有限区间的稳定性、无限区间的稳定性、渐进稳定性、扰 动下的稳定性。
实际中，对于很多问题的微分方程模型并不需要求 其一般解，而是需要求其某种理想状态下的解，这种解 称为平衡点。
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三 .微分方程的平衡点及其稳定性
１．平衡点的概念
设方程组（2）：
dx

f (t, x)
dt
（2）利用微元法
（3）利用模拟近似法：在社会科学、生物学、医学、经济 学的学科中一些现象的规律性我们不太清楚，需要在不同 的假设下去模拟实际现象。如此建立的模型从数学上求解 或分析后再与实际对比，观察看这个模型是否能够模拟、 近似这些现象。
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二、微分方程建模的简单实例
1. 估计死亡时间
x(t0 ) x0
如果存在某个常数(向量) x0 使得 f (t; x0 ) 0 ， 则称点 x0 为方程组的平衡点（或奇点）。且称 x x0
为方程组的平凡解（或奇解）。
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二、微分方程建模的简单实例
2. 湖水的污染问题
分析：湖水在时间 t 时的污染程度，可用污染度 C(t)表示，即
每立方米受污染的水中含有 C m3 的化学污染物质和（1-C） m3 的清
洁水。用分钟作为时间 t 的单位。在 0<t<30 的时间内，污染物流入
湖中的速率是 Z/30（ m3 min1 ），而排出湖外的污染物的速率是 60 0.1C(m3 min 1) ，因为每立方流走的水中含有 C m3 的污染物，
微分 方程 建模
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
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一、微分方程建模的思想和方法
当我们用微观的眼光观察实际问题时一般遵循如下的模式
净变化率=输入率-输出率
（1）根据已知规律：利用数学、物理、力学、化学等经过 实践检验的规律和定理；