K M
y2 = 2px（p＞0）
叫做抛物线的标准方程 它表示抛物线的焦点在X 轴的正半轴上 p p 焦点F ( ,0) 准线 l ： x 2 2 其中P 的几何意义是:
o
x
F
焦点到准线的距离。
探究：
在建立椭圆、双曲线的标准方程时， 选择不同的坐标系我们得到了不同形 式的标准方程。那么，抛物线的标准 方程有哪些不同的形式？
y 2 2 px
小试身手：
(1)焦点是（3,0） F
1 (2)准线方程是x 4
根据下列条件写出抛物线的标准方程：
y =12x
2
y =x
x2 =4y x2 = -4y
y
2
(3)焦点到准线的距离是2
y2 =4x
y
y2 = -4x
y
﹒ ﹒﹒ ﹒
o
x
o
x
o
x
o
y
x
例1、（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
标准方程的四种形式
图形
﹒ ﹒
y
﹒ o
y
标准方程 焦点坐标 准线方程
x xLeabharlann oyox
﹒
o
y
x
p p (( 1)一次项的变量 ,0) x ( p 0) 2 2 x (或y)，则 如为 p y 2 2 px 抛物线的焦点就 p ( ,0) x ( p 0) 在x2 轴(或y轴)2 上. 2 p p x 2 py （ 2）一次项的系 (0, ) y ( p 0) 数的正负决定了 2 2 p . x 2 2 py 开口方向 p (0, ) y ( p 0) 2 2
x
2
设点M（x，y）是抛物线上任意一点，点 M到 l 的距离为 d 。 抛物线就是点的集合 所以 P={M||MF|= d }
o
· · F
x
p 2 p 2 ( x ) y | x | 2 2
化简得
2= y y2 = 2px 2px（ （p p＞ ＞0 0） ）
标准方程
方程
l y H d
O
x
B
2
y 11.52 x
填空：
（1）抛物线y2 2 px( p 0)上一点M 到焦点的距离 是a(a>0）,则点M到准线的距离是
p 横坐标是a2
a
。
l y
，
点M的
P 2
(2)抛物线y 12 x上与焦点的距离等于
2
H
K
a
O
· a · F
M
x
（6，6 2），（6，-6 2） 9的点的坐标是
例2、一种卫星接受天线的轴截面如图所示。卫星波束呈近似平行 状态射入轴截面为抛物线的接受天线，经反射聚集到焦点处，已 知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m。试建立适当的 坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标
A
B
例2、一种卫星接受天线的轴截面如图所示。卫星波束呈近似平行 状态射入轴截面为抛物线的接受天线，经反射聚集到焦点处，已 知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5my 。试建立适当的 坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标 A 解：如图，在接收天线的轴截面
所在平面内建立直角坐标系，使 接收天线的顶点（即抛物线的顶 点）与原点重合。 2 y 设抛物线的标准方程是 2 px( p 0) 由已知条件可得，点A的坐标 是（0.5，2.4），代入方程得 2 2.4 2 p 0.5 即p=5.76 所以，所求抛物线的标准方程是 焦点坐标是（2.88，0）。
2 y 2 px( p 0) 上一点M坐标为(x0 ,y0） (3)抛物线 ，则点M到 焦点的距离为 x0 + p
2
小 结
1、抛物线的定义. 2、抛物线的标准方程、焦点、准线. 3、抛物线标准方程的应用. 4、渗透了数形结合的重要思想.
作
习题2.3
业
1、2、3
求它的焦点坐标和准线方程；
解：由方程知：p=3 3 ∴焦点坐标是 ( , 0) 2
3 ∴准线方程是 x 2
y
o
﹒
x
注:已知抛物线的标准方程，可求p,并能判断 焦点位置，进而求焦点坐标或准线方程.
例1、(2)已知抛物线的方程是y =- 6x2,
求它的焦点坐标和准线方程； y 解：原方程可化为：
1 1 o x y p x 12 6 1 焦点坐标是（0， ） 24 1 准线方程是y 24 注:若已知的抛物线方程不是标准方程,要 先转化为标准方程.
2
﹒
练一练：
求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
焦点坐标 准线方程 2 (5, 0) x 5 （1） y 20 x
﹒
o
y
1 (0, ) 4a
1 x y a
2
a<0
﹒
x
1 2 p a
1 (0, ) 4a
例2、一种卫星接受天线的轴截面如图所 示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截 面为抛物线的接受天线，经反射聚集到 焦点处，已知接收天线的口径（直径） 为4.8m，深度为0.5m。试建立适当的坐 标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标
人教A版高中数学选修1－１
抛物线及其标准方程
思考
如图，点F是定点， l 是不经过 点F的定直线。H是 l上任意一 点，经过点H作 MH l，线段 FH的垂直平分线m交MH于点 M。拖动点H，观察点M的轨 迹。你能发现点M满足的几何 条件吗？ m
H
M
E
F
l
定
义
平面内与一个定点F和一条定直 线 （ 不经过点F）的距离相 l 等的点的轨迹叫做抛物线。 H 定点F叫做抛物线的焦点。 定直线 l 叫做抛物线的准线。
（ 2）
1 x y 2
2
方程
1 (0, ) 8
5 ( , 0) 8
（ 3） 2 y 5 x 0
2
1 y 8 5 x 8
（ 4） x 8 y 0
2
(0, 2)
y2
思考：
2 y ax (a 0) 的图象 你能说明二次函数 为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标、 标准方程。 y 1 2p a>0 o x a
l l
M
· F ·
思 考：
l
如何建立适当的直角 H 坐标系？
M
F
根据抛物线的几何特征，取经过点F且垂直于直线l的直 线为x轴,垂足为K,并使原点与线段KF的中点重合.建立直 角坐标系xoy。设︱KF︱= p （p＞0）,
则焦点F的坐标为 准线 l 的方程为
p ( ,0) 2 p
l y H d
K M