第２９卷第４期２０１２年８月现 代 电 力Ｍｏｄｅｒｎ Ｅｌｅｃｔｒｉｃ ＰｏｗｅｒＶｏｌ．２９ Ｎｏ．４Ａｕｇ．２０１２现代电力，２０１２，２９（４） ｈｔｔｐ：∥ｘｄｄｌ．ｎｃｅｐｕ．ｅｄｕ．ｃｎ Ｅ－ｍａｉｌ：ｘｄｄｌ＠ｖｉｐ．１６３．ｃｏｍ文章编号：１００７－２３２２（２０１２）０４－００３６－０５文献标志码：Ａ中图分类号：ＴＭ７１４用于谐波和间谐波检测的频谱分解法覃 浩，杨洪耕（四川大学电气信息学院，四川成都 ６１００６５）Ａｎ Ａｐｐｒｏａｃｈ ｆｏｒ Ｈａｒｍｏｎｉｃｓ／Ｉｎｔｅｒ－ｈａｒｍｏｎｉｃｓ Ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ Ｂａｓｅｄ ｏｎＳｐｅｃｔｒａｌ ＤｅｐｏｓｉｔｉｏｎＱＩＮ Ｈａｏ，ＹＡＮＧ Ｈｏｎｇｇｅｎｇ（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ＆Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ，Ｓｉｃｈｕａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｅｎｇｄｕ ６１００６５，Ｃｈｉｎａ）摘 要：在使用离散傅里叶变换进行电力系统谐波／间谐波分析时，若所分析信号中两频率成分过于密集，就会产生主瓣干扰。
本文分析了传统方法在两频率成分发生主瓣干扰时失效的原因，在１０个周波采样长度下，提出一种用于抑制主瓣干扰的改进傅里叶算法：根据频域谱线的相位特性，将两个密集频率成分的傅里叶变换结果拆分成两组谱线，分别对这个两组谱线进行频率、幅值以及相位的校正。
计算机仿真算例和实测分析表明，该方法计算简单，能在抑制旁瓣干扰的同时，有效拆分出信号中频率差小于频率分辨率的谐波与间谐波成分，或两个间谐波成分，满足工程精度要求。
关键词：离散傅里叶变换；主瓣干扰；谐波；间谐波；向量分解；频谱干扰Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｆ ｔｗｏ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｉｎ ｔｈｅ ａｎａｌｙｚｅｄ ｓｉｇ－ｎａｌ ａｒｅ ｔｏｏ ｉｎｔｅｎｓｉｖｅ，ｍａｉｎ ｌｏｂｅ ｉｎｔｅｒｆｅｒｅｎｃｅ ｗｉｌｌ ｇｅｎｅｒａｔｅｗｈｅｎ ｔｈｅ ｄｉｓｃｒｅｔｅ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ａｎａ－ｌｙｚｅ ｔｈｅ ｈａｒｍｏｎｉｃｓ ａｎｄ ｉｎｔｅｒ－ｈａｒｍｏｎｉｃｓ ｉｎ ｐｏｗｅｒ ｓｙｓｔｅｍ．Ｉｎｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ ｆａｉｌｕｒｅ ｒｅａｓｏｎ ｉｓ ａｎａｌｙｚｅｄ ｗｈｅｎ ｍａｉｎ ｌｏｂｅ ｉｎ－ｔｅｒｆｅｒｅｎｃｅ ｏｆ ｔｗｏ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｇｅｎｅｒａｔｅｓ ｂｙ ｕｓｉｎｇｏｆ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｍｅｔｈｏｄ，ａｎｄ ａｎ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ＤＦＴｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｐｕｔ ｆｏｒｗａｒｄ ｔｏ ｒｅｓｔｒａｉｎ ｍａｉｎ ｌｏｂｅ ｉｎｔｅｒｆｅｒｅｎｃｅ ｉｎｔｅｎ ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｈａｒｍｏｎｉｃ ｓａｍｐｌｉｎｇ ｐｅｒｉｏｄｓ．Ｆｉｒｓｔｌｙ，Ｂａｓｅｄｏｎ ｔｈｅ ｐｈａｓｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ＤＦＴ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｌｉｎｅ，ｔｈｅ Ｆｏｕ－ｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｔｗｏ ｉｎｔｅｎｓｉｖｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓａｒｅ ｓｐｌｉｔ ｉｎｔｏ ｔｗｏ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｇｒｏｕｐｓ ｏｆ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｌｉｎｅｓ ｔｈａｔａｒｅ ｃｏｒｒｅｃｔｅｄ ｂｙ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ，ａｍｐｌｉｔｕｄｅ ａｎｄ ｐｈａｓｅ ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅ－ｌｙ．Ｔｈｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｆｉｅｌｄ ｔｅｓｔ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｓｉｍｐｌｅ，ａｎｄ ｔｈｅ ａｐｐｒｏａｃｈｃａｎ ｂｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｓｐｌｉｔ ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｈａｒｍｏｎｉｃｓ ａｎｄ ｉｎｔｅｒ－ｈａｒｍｏｎｉｃｓｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｉｇｎａｌ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｏｆ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙｌｅｓｓ ｔｈａｎ ｔｈｅ ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ，ｂｕｔ ａｌｓｏ ｔｈｅ ｈａｒｍｏｎｉｃｓｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｏｆ ｔｗｏ ｉｎｔｅｒ－ｈａｒｍｏｎｉｃｓ，ｗｈｉｃｈ ｍｅｅｔ ｔｈｅ ａｃｃｕｒａ－ｃｙ ｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔ ｏｆ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｄｉｓｃｒｅｔｅ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ；ｍａｉｎ ｌｏｂｅ ｉｎｔｅｒｆｅｒ－ｅｎｃｅ；ｈａｒｍｏｎｉｃｓ；ｉｎｔｅｒ－ｈａｒｍｏｎｉｃｓ；ｖｅｃｔｏｒ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ；ｓｐｅｃｔｒａｌ ｉｎｔｅｒｒｕｐｔｉｏｎ；０ 引 言由于电网中电力电子等非线性设备的广泛使用，电力系统谐波／间谐波现象及其影响倍受关注［１－３］。
离散傅里叶变换（Ｄｉｓｃｒｅｔｅ Ｆｏｕｒｉｅｒ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ，ＤＦＴ）及其快速算法快速傅里叶变换（Ｆａｓｔ ＦｏｕｒｉｅｒＴｒａｎｓｆｏｒｍ，ＦＦＴ）是目前电力系统谐波与间谐波分析最常用的工具，但这种算法在信号非同步采样的条件下，频谱离散化会引起短范围泄漏（即栅栏效应），时域截断会产生长范围泄漏，影响信号参数（幅值、相角、频率）计算结果的准确性［４］。
在解决非同步采样的问题上，人们采用同步锁相环技术（Ｐｈａｓｅ Ｌｏｃｋｅｄ Ｌｏｏｐ，ＰＬＬ）［５］或时域插值技术［６］来实现对基频信号的同步采样，此时由基波与谐波引起的频谱泄漏已接近于零。
但对于含有间谐波的信号而言，由于间谐波频率的不可预知性，采样很难做到对间谐波同步，因此频谱泄漏现象依然存在。
加窗插值傅里叶算法［７－１１］能够在非同步采样的情况下通过选用旁瓣较小的窗函数来减小长范围泄漏引起的误差，对ＤＦＴ计算结果使用插值修正算法以减小短范围泄漏引起的误差。
但是，当信号中两个频率分量发生主瓣干扰时，上述方法和以往的加窗插值方法都只有通过增加采样长度来减少干扰，但增加采样长度使得分析时间大大增加，且在信号非平稳条件下也是不适用的。
本文在ＩＥＣ６１０００－４－７［１２］推荐的１０个基波周期采样长度条件下，提出一种基于频谱分解的电力系统谐波／间谐波检测法。
该方法首先判断所分析信号中是否存在发生了主瓣干扰的两个频率成分；若存在，则将这两个分量利用向量分解的方法拆分开来，最后分别对拆分出的两组谱线进行频率、幅值以及相位校正。
仿真算例以及实测分析表明，该方法有效抑制了因主瓣干扰引起的测量误差，计算精度满足工程需求。
１ 频率成分间的主瓣干扰信号ｙ（ｔ）中含有两个频率成分：ｙ（ｔ）＝ｈ（ｔ）＋ｉ（ｔ）＝Ａｈｅｊ（２πｆｈｔ＋θｈ）＋Ａｉｅｊ（２πｆｉｔ＋θｉ）（１）式中：ｆｈ、ｆｉ分别为这两个成分的频率；Ａｈ、Ａｉ与θｈ、θｉ为相应的幅值与相角；ｔ为时间。
为讨论方便，设ｈ（ｔ）为频率为５０Ｈｚ的基波，ｉ（ｔ）为频率为５３Ｈｚ的间谐波（｜ｆｈ－ｆｉ｜＝３Ｈｚ）。
单频信号ｈ（ｔ）与ｉ（ｔ）加汉宁窗（Ｈａｎｎｉｎｇ Ｗｉｎｄｏｗ）的离散时间傅里叶变换（ＤＴＦＴ）结果在图１中分别为Ｈ（ｆ）、Ｉ（ｆ）。
这两个频率成分合成的原信号的ＤＴＦＴ为Ｙ（ｆ）。
图１ 两相邻频率成分主瓣干扰观察图１中的３条ＤＴＦＴ曲线，可以看出曲线Ｈ（ｆ）与Ｉ（ｆ）完全被Ｙ（ｆ）所覆盖。
信号的ＤＦＴ结果如图１中的柱状图形所示，传统的插值法直接使用频域峰值谱线进行参数校正。
然而从图１可以看出，在这两个频率成分发生主瓣干扰的情况下，利用以往方法所得的结果既不是ｈ（ｔ）也不是ｉ（ｔ），而是一个错误的频率分量。
２ 发生主瓣干扰两频率分量的判断根据向量共线原则［１３］，在复频域中某个单频信号的相邻谱线相位差为π，也就说在复平面它的所有谱线都共线，即：Δθ＝｜｜θｋ－θｋ＋１｜－π｜＝０（２）式中：θｋ为最大谱线的相位角。
但在实际计算中，由于误差的存在，Δθ不可能刚好为零，只要Δθ小于允许误差ε即可。
若Δθ＜ε，我们就可以判断该信号只有一个频率成分；反之在这个频域范围内则有两个发生主瓣干扰的频率分量，此时使用本文提到的频谱分解法继续进行分析。
３ 频域向量分解法３．１ 原理设有两个发生主瓣干扰的单频率成分ａ（ｔ）与ｂ（ｔ），其叠加信号为ｃ（ｔ）。
它们的汉宁窗ＤＦＴ结果分别为Ａ（ｆ），Ｂ（ｆ），Ｃ（ｆ），它们的主瓣内３条幅值最大谱线，在复频域的叠加情况如图２所示。
图２ 主瓣谱线线性叠加可以看出，各个离散频点谱线Ｃ（ｋ－１），Ｃ（ｋ），Ｃ（ｋ＋１）实际上为信号中单频成分Ａ（ｆ），Ｂ（ｆ）在对应频点谱线的线性叠加，其叠加方式满足平行四边形原则。
若能将Ｃ（ｆ）准确地分解成Ａ（ｆ），Ｂ（ｆ），那么就能避免这两个量主瓣的相互影响。
为了讨论方便，将主瓣的这３条谱线平移到坐标原点Ｏ，并设为Ｃ１，Ｃ２，Ｃ３，其相角分别为θ１，θ２，θ３。
同样地，设Ａ（ｆ）与Ｂ（ｆ）对应３条复数谱线为Ａ１、Ａ２、Ａ３与Ｂ１、Ｂ２、Ｂ３，它们在复频域中叠加关系如图３所示。
由于Ａ（ｆ）与Ｂ（ｆ）都是单频信号的频谱函数，根据前文提到的相位共线原则，谱线Ａ１、Ａ２、Ａ３必过坐标原点Ｏ共线；Ｂ１、Ｂ２、Ｂ３也过坐标原点并共线。
过Ｏ做一条垂直于直线Ｂ１Ｂ２Ｂ３的轴线Ｘ，与横轴夹角为α１，与直线Ａ１Ａ２Ａ３夹角为β１，此时Ｃ１、Ｃ２、Ｃ３在横轴上的投影为Ｖ１、Ｖ２、Ｖ３，则｜Ｖ１｜＝｜Ｃ１ｃｏｓ（π＋θ１－α１）｜｜Ｖ２｜＝｜Ｃ２ｃｏｓ（θ２－α１）｜｜Ｖ３｜＝｜Ｃ３ｃｏｓ（π＋θ３－α１）烅烄烆｜（３）７３第４期覃 浩等：用于谐波和间谐波检测的频谱分解法现代电力，２０１２，２９（４） ｈｔｔｐ：∥ｘｄｄｌ．ｎｃｅｐｕ．ｅｄｕ．ｃｎ Ｅ－ｍａｉｌ：ｘｄｄｌ＠ｖｉｐ．１６３．ｃｏｍ现代电力，２０１２，２９（４） ｈｔｔｐ：∥ｘｄｄｌ．ｎｃｅｐｕ．ｅｄｕ．ｃｎ Ｅ－ｍａｉｌ：ｘｄｄｌ＠ｖｉｐ．１６３．ｃｏｍ图３ 频域向量分解法原理Ｃ１、Ｃ２、Ｃ３是Ａ１与Ｂ１、Ａ２与Ｂ２、Ａ３与Ｂ３矢量叠加的结果、由平行四边形法则可知，Ｖ１、Ｖ２、Ｖ３同样是Ａ１、Ａ２、Ａ３在Ｘ轴上的投影，则：｜Ｖ１｜＝｜Ａ１ｃｏｓβ１｜｜Ｖ２｜＝｜Ａ２ｃｏｓβ１｜｜Ｖ３｜＝｜Ａ３ｃｏｓβ１烅烄烆｜（４） 由于Ａ１、Ａ２、Ａ３是单频率成分频域上的谱线，由单频率成分的幅值判定方法［１３］：ｆ＝（Ｋ＋ΔＫ）Δｆ（５）式中：ｆ为真实频率、ΔＫ为校正频率、Δｆ为频率分辨率。
根据Ｈａｎｎｉｎｇ窗幅值校正公式，可以得到：ΔＫＡ＝２｜Ｌｍａｘ｜－｜Ｌｌｅｆｔ｜｜Ｌｍａｘ｜＋｜Ｌｌｅｆｔ｜（６）ΔＫＢ＝２｜Ｌｒｉｇｈｔ｜－｜Ｌｍａｘ｜｜Ｌｍａｘ｜＋｜Ｌｒｉｇｈｔ｜（７）式中：ΔＫＡ为对应于主瓣３条幅值最大谱线中最左边谱线Ｌｌｅｆｔ与最大谱线Ｌｍａｘ的左校正量；ΔＫＢ为对应最右边谱线Ｌｒｉｇｈｔ与最大谱线Ｌｍａｘ的右校正量。