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第四节 协方差传播律及其应用
• 例[1-6] 经个N测站测定两水准点A、B间的高差，其中 第i(i=1,2…N)站的观测高差为 hi • 解：A、B两水准点间的高差为： h h h h • 设：各测站观测高差是精度相同的独立观测值，其中误 差均为 ，。应用协方差传播律，得
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第二节
一、精度的含义
衡量精度的指标
所谓精度是指偶然误差分布的密集离散程度。 一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值精度相同。 不同组观测值，分布不同，精度也就不同。 提示：一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各 不相同。
第二节
频数/d
衡量精度的指标
频数/d
-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8 -0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8
2 j 2 0
Qii为Li的协因数。
Q jj为L j的协因数。
Qij为Li关于L j的协因数 或相关权倒数。
1 ji Qij 2 pi 0
第六节
变换形式为：
2 i2 0 Qii 2 2 j 0 Q jj 2 ji 0 Qij
第一节 偶然误差的统计规律
第二节 衡量精度的指标
第三节 协方差传播率
第四节 协因数传播率及其应用
第五节 权与定权的常用方法 第六节 协因数与协因数传播率
第七节 由真误差计算中误差及其实际应用
第八节 测量平差原则
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第一节
偶然误差的统计规律
一、几个概念 真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正 ~ 大小的数值，一般用 L 表示。 观测值：对该量观测所得的值，一般用Li表示 。 真误差：观测值与真值之差， 一般用i= L-Li 表 示。
偶然误差的统计规律
(K/n)/d△
面积= [(K/n)/d△]* d△= K/n
概率密度函数曲线
-0.8
-0.6
-0.4
0
0.4
0.6
0.8
闭合差
所有面积之和=k1/n+k2/n+…..=1
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第一节
频数/d
偶然误差的统计规律
0.630
频数/d
0.475
-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8
第三节
一、协方差
协方差传播律
对于变量X，Y，其协方差为：
XY E[( X E ( X ))(Y E (Y ))] YX E[(Y E (Y ))( X E ( X ))] [ ] lim XY YX n
x y xy n yx
Z [k 1 , k 2 , kn ] X k0 KX k0
n ,1
DZZ KDXX K
T
第三节 协方差传播应用步骤:
协方差传播律
• 根据实际情况确定观测值与函数,写出具 体表达式 Z KX 或 Zi f i ( X1 , X 2 ,, X n ), (i 1,2,, t ) • 写出观测量的协方差阵 • 对函数进行线性化 • 应用协方差传播律求方差或协方差阵。 • DZZ KD XX K T
闭合差
-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8
闭合差
提示：观测值定了其 分布也就确定了，因 此一组观测值对应相 同的分布。不同的观 测序列，分布不同。 但其极限分布均是正 态分布。
频数/d
1 f () e 2
2 2 2
-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8
N N
N
N
N
x

• 即：N个同精度独立观测值的算术平均值的中误差， 等于各观测值的中误差除以观测值个数的平方根。
第五节
一、权的定义
权与定权的常用方法
设Li (i 1,2,..., n), 它们的方差为 i2 , 如选定任一常数 0，则定义 :
2 0 pi 2 i
称为观测值Li的权。权与方差成反比。
2
[] lim D() E (2 ) n n 2 f ()d

中误差：
[] 2 lim n n
面积为1
越小，误差曲 提示： 线越陡峭，误差分布 越密集，精度越高。 相反，精度越低。
2 1
-0.8 -0.6 -0.4
17
13 6
0.047
0.036 0.017
0.235
0.180 0.085
16
13 5
0.045
0.036 0.014
0.225
0.180 0.070
1.40~1.60
>1.60
4
0 181
0.011
0 0.505
0.055
0
2
0 177
0.006
0 0.495
0.030
0
和
第一节
用直方图表示:
2 2 2 0 0 0 1 1 1 p1 : p2 : pn 2 : 2 : : 2 2 : 2 : : 2 1 2 n 1 2 n
第五节 由此可见：
权与定权的常用方法
2 (一)权的大小随 0 而变化，但权比不会发生变化。
2 (二) 选定了 0 ，即对应一组权。
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第一节 偶然误差的统计规律 二、偶然误差的特性
• 例1：在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角，每个三角 形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计 算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。
误差 区间
0.00~0.20
—△ 个数K 45 频率K/n 0.126 (K/n)/d△ 0.630 个数K 46
xy

[ x y ] n
YX XY 0
YX XY 0
表示X、Y间互不相关，对于正 态分布而言，相互独立。 表示X、Y间相关
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第三节
协方差传播律
对于向量X=[X1，X2，……Xn]T，将其元素间的 方差、协方差阵表示为：
12 12 1n 2 21 2 2 n 2 n1 n 2 n
2
P 1
Ps 2 s
i i
s2 a 2 (b 106 si ) 2
i
第六节
协因数与协因数传播律
一、协因数与协因数阵
设Li , L j 它们的方差为 i2 , 2 j , 协方差为 ij 令: 1 i2 Qii 2 pi 0 1 Q jj pj
DXX
特点：I 对称 II 正定
III 各观测量互不相关时，为对角矩阵。当
对角元 相等时，为等精度观测。
第三节
协方差传播律
二、观测值线性函数的方差
T X [ X , X ,... X ] , DXX , Z K X K 0 已知： n,1 1 2 n 1,1 1, n n ,1
那么：
DZZ KDXX K T
~
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第一节
偶然误差的统计规律
观测向量：若进行n次观测，观测值：L1、 L2……Ln可表示为：
L1 L L 2 n ,1 Ln
~ 1 L ~ ~ L L2 n ,1 ~ Ln
~ L1 1 L ~ L L2 2 n ,1 ~ Ln L n
（三）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较 精度的作用，一个问题只选一个0。 （四）只要事先给定一定的条件，就可以定权。
第五节
权与定权的常用方法
二、单位权中误差
0 称为单位权中误差，权等于1的观测值称为单位权观测值。
三、常用的定权方法 1、水准测量的权
2、边角定权
c pi 或 si
c pi Ni
三、多个观测值线性函数的协方差阵
已知：
Z K X K0
t ,1 t ,n n ,1 t ,1
DZZ KDXX K T
Y F X F0
r ,1 r ,n n ,1 r ,1
DZF KDXX F T ( DFZ )T
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第三节
协方差传播律
例3：在一个三角形中，同精度独立观测得到三 个内角L1、L2、L3，其中误差为，将闭合差平 均分配后各角的协方差阵。
n ,1
求：DZZ
X 0 [ X 10 , X 20 ,... X n0 ]T
n ,1
第三节
协方差传播律
将Z按台劳级数在X0处展开：
0 Z f ( X 10 , X 20 , X n )
f f f 0 0 0 ( )0 ( X 1 X 1 ) ( )0 ( X 2 X 2 ) ( )0 ( X n X n ) X 1 X 2 X n (二次以上项）
F1 X F1 Y 已知 DXX 例4：设有函数， Z t ,1 n ,1 r ,1
t ,n t ,r
DYY
DXY
求 DZZ
DZX
DZY
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第三节 四 、非线性函数的情况
协方差传播律
设有观测值X的非线性函数：
Z f ( X ) f ( X 1 , X 2 , X n )
已知： X [ X 1 , X 2 ,... X n ]T , DXX
0 0.4
0.6
0.8
1 2
闭合差
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第二节 2、极限误差
衡量精度的指标