拉格朗日中值定理是微分学中的重要定理，对于连续且可导的函数f(x)，在闭区间[a,b]上，存在至少一个点ξ，使得f'(ξ)等于区间两端点连线的斜率。该定理的证明依赖于辅助函数的构ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ和罗尔定理的应用。除了定理本身，文档还介绍了几个重要的推论，如导数为零的函数在相应区间内为常数等。在求极限方面，拉格朗日中值定理提供了有力的工具。通过定理的几何意义，即切线平行于弦的原理，可以推导出新的中值公式，进而应用于求未定式的极限。此外，结合有限增量公式，可以进一步探讨函数在区间内的变化性质，从而求出特定形式的极限。文档通过具体的例题，详细展示了如何利用这些方法和原理来求解复杂的极限问题，体现了拉格朗日中值定理在数学分析中的广泛应用和重要性。