第1章运动学1-1在质点运动中：已知
，
，
（k为常数），求质点的轨迹方程。

解由
，得
，考虑初始条件积分
得
即
又因为
，从
和
的表达式消去时间
，得到轨迹方程
1-2 已知某光点在示波器荧屏上的运动方程为
，式中
、
、
和
均为已知非负常量，设
，试求轨迹方程并就
、
和
分别讨论光点的运动轨迹。

解由题意知
、
，消去时间
，可得光点的轨迹方程。

因为
（1）
（2）式（1）左右两边同乘
得
（3）
式（2）变形可得
（4）
式（3）的平方加式（4）的平方，可消去时间
，即得光点轨迹
（5）
可见，光点的轨迹一般情况下为椭圆,与
值有很大关系。

讨论如下：
（1）当
时，式（5）简化为
，光点的运动范围为
、
，轨迹为通过原点在第一、三象限的线段。

（2）当
时，式（5）为
，可以按此方程逐点描图绘出光点的轨迹曲线，这是一个斜椭圆，如图。

光点的运动速度
在
、
方向的分量为
当
时，
、
，光点沿斜椭圆作逆时针方向运动。

习题1-2 解用图
（3）当
时，式（5）简化为
，光点的轨迹为以坐轴为主轴的正椭圆。

同样，当
时，
、
，光点仍沿椭圆作逆时针方向运动。

1-3质点的运动方程为。

试求(1)它的轨迹方程;(2)它在前三秒内的位移；(3) 它在5秒末的速度与加速度。

解 (1) 由于
，消去
，得到轨迹方程
，
即为在
的平面内
抛物线的右侧。

(2)
，
前三秒内质点的位移
(3)
1-4质点的运动方程为
，式中
为已知正常量。

试求
时的速度和加速度。

解
，
，
*1-5 在习题1-2中，当
时光点的运动轨迹是椭圆，试由运动速度判断该光点是顺时针运动还是逆时针运动。

解当
时，式（5）简化为
，光点的轨迹为以坐轴为主轴的正椭圆。

光点的运动速度
在
、
方向的分量为
当
时，
、
，光点沿椭圆作逆时针方向运动。

习题1-6 解用图
1-6 路灯距地面的高度为
，身高为
的人以速率
在路上沿通过路灯杆的直线行走。

求(1) 头顶在地面影子移动速度的大小和加速度的大小；(2) 人在地面上影子增长速度的大小。

解 (1) 建立如图的坐标系，设人的坐标为
，头顶影子的坐标为
，设人移动速度为
，头顶影子移动速度为
，则
考虑到几何关系有
解得
头顶影子移动速度
(1)
加速度的大小
(2)
式（2）说明人加速行走，影子也将加速运动。

(2) 从图中可以看出，影子在地面上的长度为
，影子增长速度的大小
1-7 质点作圆周运动，
时刻角位置
，求
时刻的角速度和角加速度。

解
1-8 质点以
为半径做圆周运动，质点沿圆周所经历的路程的表达式为
，其中
为常数，求质点在
时刻的速率
及总加速度。

解
或
与
的夹角
满足
1-9 已知质点沿半径为
的圆周运动，其角位置
,求（1）
时，质点法向加速度和切向加速度各是多少？（2）当切向加速度的大小正好是总加速度大小的一半时，角位置
的值是多少？
解
(1)
(2) 总加速度大小
当切向加速度的大小正好是总加速度的一半时，即
，解得
角位置
1-10 质点沿半径为
的圆周运动，总加速度
与速度
两者之间的夹角
保持不变,已知
时速率为
,试求质点速率
随时间的变化规律。

解切向加速度
，法向加速度
，两式两边分别相比并分离变量得
由题意知
为常数, 考虑初始条件并积分得
积分得
或
1-11 一铁饼以20m/s的速度，450的仰角抛出，若把铁饼当作质点，求铁饼在飞行过程中任意时刻的曲率半径。

解设
为抛射角，抛体任意时刻的速度
加速度的大小恒为
由法向加速度
得
代入
与
值得
1-12质点沿
轴运动，已知加速度
，
时，
,
，求（1）质点的运动方程；（2）质点在前2秒内的位移和路程。

解 (1)由
得
，考虑初始条件,积分得
即
由
，得
考虑初始条件,积分得
质点的运动方程
(2)
，
，前2秒内质点的位移。

令
，即当
，质点速度改变符号，由负变为正，质点到达左边最远处，此时
，得前2秒内质点的路程
1-13质点具有加速度
，在
时，其速度为零，位矢。

求(1)在任意时刻的速度和位矢；(2) 质点的轨迹方程。

解（1）由
得，
，积分并考虑初始条件
得
由
得
，积分并考虑初始条件
或
（2）由运动方程
得，
，
，消去时间
得质点的轨迹方程为
（
）
1-14质点沿
轴运动，加速度
（
为正常量），设
时，质点的速度为
，位置
，求运动方程。

解由
得
或
，积分并考虑初始条件
得
由
得，
，积分得
1-15质点沿
轴运动，加速度
（
、
均为正常量），设
时，质点的速度
，位置
，求质点在任意位置
的速度。

解由加速度的定义得
，即
，积分并考虑初始条件
得
1-16质点以初始角速度
作圆周运动，设运动过程中角加速度
（
为正常量），求质点的角速度从
变为
所需要的时间。

解由
得
，积分
得所需时间
1-17质点作圆周运动，设
时，角速度为
，角位置为
，运动过程中角加速度
（
为正常量），求质点在任意角位置
的角速度。

解由角加速度的定义得
，即
，积分
角速度
1-18 在相对地面静止的坐标系内，
、
两船都以
的速率匀速行驶，
船沿
轴正向运动，
船沿
轴正向运动。

求在
船上看
船的速度。

解以地为基本参照系
，
船为运动参照系，
船为运动物体，则
，。

1-19 将
、
两物体同时以速度
、
抛出，试证明在飞行过程中任意时刻物体
相对于物体
的速度为常矢量。

证明
、
两物体均作抛体运动，任意时刻物体
的速度
，
的速度
，两物体的相对速度
1-20 如图，求质量为
、边长为
的等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。

解等腰直角三角形均匀薄板的质量面密度。

根据对称性，有质心坐标。

如解用图，在
处取宽为
的矩形质元，则其质量
1-21 汽车发动机的转速在
内由
增加到
，假定是匀变速的，求（1）求在这段时间内的初角速度和末角速度以及角加速度；（2）这段时间内转了多少转？（3）发动机轴上装有一半径为
的飞轮。

求它的边缘上一点在第
末的切向加速度、法向加速度和总加速度的大小。

解（1）
角加速度
（2）由
解得
（3）
总加速度
习题1-22图
1-22 圆盘绕定轴
转动。

在某一瞬时，轮缘上点
的速度为
，转动半径为
；盘上任一点
的总加速度
与其转动半径
成
角，且
，如图所示。

试求该瞬时圆盘的角加速度。

解（1）由圆盘上点
的半径
，速度
得
圆盘定轴转动的角速度
圆盘定轴转动时，点
的切向加速度
，法向加速度
，根据题意有
得。