f (1)
4.
x x2
dx;
6. f (a x )a xdx;
7. f (tan x)sec2 xdx; 8. f (arctan x) dx; 1 x2
6、第二类换元法
定理 设 x (t )是单调的、可导的函数，并 且 (t ) 0 ，又设 f [ (t )] (t ) 具有原函数，则Βιβλιοθήκη 换元公式d dxf
( x)dx
f
(x)
d[ f (x)dx] f (x)dx
F( x)dx F( x) C dF( x) F( x) C
(3) 不定积分的性质
10 [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx 20 kf ( x)dx k f ( x)dx （k 是常数，k 0)
f ( x)dx f [ (t)] (t)dt t ( x ) 第二类换元公式
其中 ( x)是x (t)的反函数.
常用代换:
1.x (at b) , R.
2.三角函数代换 如f ( x) a2 x2 , 令x a sin t. 3.双曲函数代换 如f ( x) a2 x2 , 令x asht. 4.倒置代换 令x 1.
5、第一类换元法
定理 1 设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)]( x)dx [ f (u)du]u( x)
第一类换元公式（凑微分法）
常见类型:
1. f ( xn1 )xndx;
3. f (ln x) dx; x
5. f (sin x)cos xdx;
2. f ( x ) dx; x
一、主要内容
原函数
不定积分
选
择 u
分部 积分法
积分法
直接 积分法
基 本
有
积
效 方 法
第一换元法 第二换元法
几种特殊类型 函数的积分
分 表
1、原函数
定义 如果在区间I 内，可导函数F ( x) 的导函数为 f ( x) ， 即 x I ， 都 有 F ( x) f ( x) 或 dF ( x) f ( x)dx ，那么函数F ( x) 就称为 f ( x) 或 f ( x)dx 在区间I 内原函数. 原函数存在定理 如果函数 f ( x) 在区间I 内连续，那 么在区间I 内存在可导函数F ( x) ，使x I ，都有 F ( x) f ( x).
(2x p)dx ( x2 px q)n
(
N x2
Mp 2
px
q)n
dx
此两积分都可积,后者有递推公式
（2） 三角函数有理式的积分
定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数称之．一般记为 R(sin x,cos x)
令u tan x 2
2u sin x 1 u2
x 2arctan u
(23)
(18) sec xdx ln(sec x tan x) C
(24)
(19) csc xdx ln(csc x cot x) C
1
x
dx arcsin C
a2 x2
a
1 dx
x2 a2
ln( x x 2 a 2 ) C
4、直接积分法
由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不 定积分的方法.
cos
x
1 1
u2 u2
dx
1
2 u2
du
R(sin
x,cos
x)dx
R
1
2u u2
,1 1
u2 u2
1
2 u2
du
（3） 简单无理函数的积分
讨论类型： R( x, n ax b) R( x, n ax b ) cx e
解决方法：作代换去掉根号．
即：连续函数一定有原函数．
2、不定积分
(1) 定义
在区间I 内，函数 f ( x) 的带有任意常数项 的原函数称为 f ( x) 在区间I 内的不定积分，记
为 f ( x)dx ．
f ( x)dx F( x) C
函数 f ( x)的原函数的图形称为 f ( x) 的积分曲线.
(2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
C
(10) sec x tan xdx sec x C
(5)
1
1
dx x2
arcsin
x
C
(11) csc x cot xdx csc x C
(6) cos xdx sin x C
(12) e xdx e x C
(13)
a xdx
ax C ln a
(14) shxdx chx C
t
7、分部积分法
uvdx uv uvdx
udv uv vdu
分部积分公式
8.选择u的有效方法:LIATE选择法
L----对数函数； A----代数函数； E----指数函数；
I----反三角函数； T----三角函数； 哪个在前哪个选作u.
9、几种特殊类型函数的积分
（1）有理函数的积分
3、基本积分表
(1) kdx kx C (k是常数) (7) sin xdx cos x C
(2)
x dx
x 1
1
C
( 1) (8)
dx cos2
x
sec2
xdx
tan
x
C
(3)
dx x
ln
x
C
(9)
dx sin2
x
csc2
xdx
cot
x
C
(4)
1
1 x
2
dx
arctan x
四种类型分式的不定积分
1.
Adx Aln x a C; 2. xa
Adx (x a)n
A (1 n)( x a)n1
C;
3.
Mx N x2 px
dx q
M 2
ln
x2
px
q
N
Mp 2
arctan
x
p 2
C;
q
p2 4
q
p2 4
Mx N
M
4. ( x2 px q)n dx 2
定义 两个多项式的商表示的函数称之.
P(x) Q( x)
a0 x n a1 x n1 b0 x m b1 x m1
an1 x an bm1 x bm
其中m 、n 都是非负整数；a0 , a1 , , an 及 b0 , b1 , , bm 都是实数，并且a0 0 ，b0 0 .
真分式化为部分分式之和的待定系数法
(15) ch xdx shx C
(16) tan xdx lncos x C
(20)
a2
1
x 2 dx
1 a
arctan
x a
C
(21)
x2
1
a
2dx
1 2a
ln
x x
a a
C
(22)
a2
1
x 2 dx
1 2a
ln
a a
x x
C
(17) cot xdx lnsin x C